Сформулировать и доказать теорему о третьем признаке равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.  53 Нравится

Т.к. биссектриса является высотой, треугольник ABC - равнобедренный, с основанием AC. Значит, AB=BC, а BK также является медианой, т.е. AK=CK.
Периметр ABK P=AB+BK+AK;
Периметр ABC=AB+AC+BC=AB+AK+KB+BC=2AB+2AK=2(AB+AK)=2(Pabk-BK)=2(16-5)=2*11=22 см

Задача 2
Т.к. AB=BC, AF=EC=AB/2=BC/2;
Рассмотрим треугольники AFC и CEA
Они равны по двум сторонам (AF=EC и AC - общая) и углу между ними (EAC=FCA)
Тогда углы EAC=FCA.
Значит, угол BAE=BAC-EAC=BCF
Углы FMA=EMC, как вертикальые
Тогда углы AFM=180-FMA-FAM=MEC
Значит, треугольники AFM=EMC по стороне (EC=AF) и двум прилежащим к ней углам (AFM=MEC и FAM=ECM)
Тогда AM=MC => треугольник AMC - равнобедренный

Все задачи на проверку формул. поэтому рисунки не строю.

1.В основании лежит правильный треугольник его периметр равен 3*2=6/см/, чтобы найти ребро призмы, надо площадь бок. поверхности разделить на периметр основания.  66/6=11/см/

2. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на  высоту. Периметр основания 4*4=16/см/, значит, площадь бок. поверхности равна 16*12=192/см²/, площадь основания равна 4²=16/см²/

Площадь полной поверхности равна

sполн. =2sосн.+sбок.=2*16+192=32+192=224/см²/

3. по формуле для длины диагонали d=√(a²+b²+c²)

a=3; b=4; c=5.

d=√(3²+4²+5²)=√(9+16+25)=√50=5√2

площадь поверхности равна 2*(3*4+3*5+4*5)=2*(12+15+20)=94/см²/