Восновании пирамиды abcde лежит ромб abcd. высота пирамиды соединяет вершину е с серединой ребра ав при основании. известно, что объем пирамиды равен 1200 см кубических, высота 30 см и разность между длинами диагоналей основания равна 14 см. вычислите угол между наименьшим боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

ЕАВСД - пирамида. AC>ВД. АН=ВН, Н∈АВ.
В тр-ке АВЕ ЕН - высота. Так как АН=ВН и ЕН⊥АВ, то ΔАВЕ - равнобедренный. ЕА=ЕВ.
Пусть диагонали основания равны х и у, тогда х-у=14, х=у+14.
Площадь основания (ромба): S=ху/2=у(у+14)/2=(у²+14у)/2.
Объём пирамиды: V=Sh/3=30(у+14у)/6=1200 ⇒
у²+14у-240=0,
у1≠-24, у2=10.
ВД=10 см, АС=10+14=24 см.
В тр-ке АВО АО=АС/2=12 см, ВО=ВД/2=5 см. АВ²=АО²+ВО²=169,
АВ=13 см.
В тр-ке АВД ДН - медиана. ДН=0.5√(2АД²+2ВД²-АВ²)=√(АВ²+2ВД²)=√(13²+2·10²)≈19.2 см.
АН<ДН, значит ребро ЕА меньше ребра ЕД. Следовательно нужно найти угол ЕАН.
 В тр-ке ЕНА tg(ЕАН)=EH/AH=30/6.5=60/13.
∠ЕАН=arctg(60/13)≈77.77° - это ответ.

В прямоугольном треугольнике

синус острого угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе

косинус острого угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе

тангенс острого угла - отношение противолежащего катета к прилежащему (или синуса к косинусу)  

cosA =AC/AB =sinB =1/2

Пусть AC=x, AB=2x

По теореме Пифагора

BC =√(AB^2 -AC^2) =x√(4-1) =x√3

tgA =BC/AC =√3  

Или  

cosA =cos(90-B) =sinB =1/2  

sinA^2 +cosA^2 =1 => |:cosA^2

tgA^2 +1 =1/cosA^2 =>

tgA = +-√(1/cosA^2 -1) = +√(4-1) =√3

(тангенс острого угла положительный)

                                                                          Дано:

                                                                  ABC - треугольник.

                                                                  BD - медиана

                                                                  BD ⊥ AC

                                                                  Доказать: ABC - равнобедренный

1) Т.к BD-медина, перпендикулярная AC, то она является высотой.

2) Т.к BD- медиана и высота, то по утверждению "В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой" треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.