Основание треугольника равно 4.медиана проведена к основанию , равна корень из 6 минус корень из 2, а один из углов при основании равен 15 градусов .найти острый угол между медианой и основанием

Пусть тр-к ABC, медиана - BM
AM = MC = 2
из тр-ка ABM по т sin:
√6 - √2 / (sin15) = 2 / sinABM (1)
sin^2(15) = (1 - cos30) / 2 = (2 - √3)/ 4
возведем обе части (1) в квадрат:
(8 - 2√12)  / sin^2(15) = 4 / sin^2(abm)
(8 - 4√3) * 4 / (2 - √3) = 4 / sin^2(abm)
sin^2(abm) = 1 / 4
sin(abm) = +- √2 / 2
∠abm = 135° или = 45°
∠bma = 180 - 15 - abm = 165 - abm
если ∠abm = 135, то ∠bma = 30°
если ∠abm = 45, то ∠bma = 120°
Искомый острый угол в обоих случаях равен 30°
ответ: 30°.

Вся хитрость в том, что отсекаемый биссектрисой треугольник (от параллелограмма) обязательно равнобедренный. Углы при его основании равны, поскольку один из них - внутренний накрест лежащий при параллельных сторонах и биссектрисе (как секущей) с одним из углов, на которые биссектриса делит угол параллелограмма. 

Ясно, что одна сторона 21, а вторая может быть либо 7, либо 14, в зависимости от того, от какой вершины отсчитываются отрезки 7 и 14 :) Поэтому и ответа два, периметр может быть 56 или 70.

Данная нам пирамида правильная, так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания одинаковый угол.  Основание высоты правильной треугольной пирамиды находится в центре правильного треугольника (основания пирамиды). Центр равностороннего треугольника является точкой пересечения высот и медиан и делит медиану (высоту) в отношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы).
Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, значит высота
пирамиды равна отрезку высоты основания пирамиды, считая от вершины, то есть она равна 2/3 высоты основания. Тогда высота основания равна 4√3*3/2=6√3.
Высота равностороннего треугольника (основания пирамиды) равна
h=(√3/2 )*a, где а - сторона треугольника (основания), отсюда а=6√3*2/√3=12.
ответ: сторона основания пирамиды а=12.