Внутри треугольника авс взята точка d такая, что abd = acd = 45. докажите, что отрезки ad и bc перпендикулярны и равны, если угол вас равен 45.

 Внутри треугольника АВС взята точка D такая, что угол ABD = угол ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°

                        *   *   *

 Продлим ВD  до пересечения с АС в т.Н, а отрезок СD - до пересечения с АВ в т.К и проведем АМ через т.D.

∠АСD=45° по условию, Если ∠ВАС=45°, то  ∠АКС=90° и ∆ АСК – равнобедренный прямоугольный.  АК=СК.

  В ∆ АВН  два угла при АВ равны 45°⇒∠ВНА=90° и ∆ АВН - равнобедренный прямоугольный, Тогда точка D - пересечение высот СК и ВН треугольника АВС. Отрезок АМ, содержащий АD,  проходит через точку пересечения высот, следовательно, является высотой и перпендикулярен ВС. Отсюда АD⊥ВС. Доказано.

 Прямоугольные ⊿ АКD и ⊿ CMD подобны по равному углу при вершине   D ( вертикальные) ⇒ ∠КАD=∠MCD.

 Рассмотрим ⊿ АКD и ⊿ ВКС. Из ⊿ АКС их катеты АК=СК. Острые ∠КАD и ∠КСВ равны (из доказанного выше). Следовательно, ⊿ АКD=⊿ ВКС по катету и острому углу. Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников.  АD=ВС, ч.т.д.

Номер 1

ON-биссектриса треугольника МОК

ЕН-высота треугольника DEC

BP-медиана треугольника АВD

Номер 2

Треугольник равнобедренный по условию задачи,т к РК=РМ

<РНК=90 градусов,т к РЕ-перпендикуляр

<КРН=42:2=21 градус,т к РЕ-биссектриса

Номер 3

Треугольники равны по 2 признаку равенства треугольников-по стороне и двум прилежащим к ней углам

АО=ОD;<BAO=<CDO; по условию задачи

<АОВ=<СОD,как вертикальные

Номер 4

В итоге получились два треугольника,которые равны по 3 признаку равенства треугольников-по трём сторонам

LM=NM;LD=ND; по условию задачи

МD-общая сторона

Равенство треугольников MLD и MND доказано,а это значит,что все соответствующие углы равны между собой

<LMD=<DMN,следовательно,МD-биссектриса угла LMN

Номер 5

При пересечении двух диаметров получились два равных равнобедренных треугольника

МО=ОК;НО=ОР;как радиусы

<МОН=<NOK,как вертикальные

Треугольники равны по 1 признаку равенства треугольников-по двум сторонам и углу между ними

<ОМН=<ОРК=40 градусов

Объяснение:

Вариант решения без синусов. Основывается на теореме "Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы". Благодаря ей, соотношения площадей, напр. тр-ка АВС и В1А1С будут как ВСхАС/СА1хСВ1. Далее выражаем стороны с индексами через ВС и АС: ВСхАС/1/3ВСх2/3АС. Далее стороны сокращаются, числа перемножаются и получается 9/2 (коэффициент этой пропорции). Таким образом, площадь тр-ка В1А1С будет 27/9/2

Объяснение: