Найти площадь параллелограмма mpkn, если pkm=45 градусов, pn=26, pk=5 корней из 2 p.s. я решил, но приходилось вычислять арксинусы и всё такое. можно ли как-то проще решить, без арксинусов? на егэ же нельзя вычислить вручную его.

Можно проще. Решение в приложении.

Рисунок не в масштабе.

Через точку О проведём высоту ЕН=h. ЕО=h/2.
В прямоугольном тр-ке ЕКО острые углы равны 45°, значит ЕК=ЕО=h/2 ⇒ PE=PK-EK=5√2-h/2.
В тр-ке РЕО РО²=РЕ²+ЕО², РО=РN/2=13.
13²=(5√2-h/2)²+(h/2)²,
50-5h√2+h²/4+h²/4=169,
h²-10h√2-238=0,
h₁=-7√2, отрицательное значение не подходит по смыслу задачи,
h₂=17√2.
S=PK·EH=5√2·17√2=170 (ед²) - это ответ.

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. Тогда площадь одного треугольника равна D/6. По формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=R.
Следовательно, √3*R²/4=D/6  => R²=2D√3/9.
R=√(2D√3)/3
По Пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен
(2R)²=2а², где а - сторона квадрата.
а=2R/√2 = R√2,  а площадь - S= а² =2R² .
Подставим найденное значение R, тогда
сторона вписанного квадрата:
а=√(2D√3/9)*√2=√(4D√3)/3.
площадь вписанного квадрата:
S=a²= 4D√3/9.

Подставь свои числа просто

пирамида КАВС, К -вершина , в основании равносторонний треугольник АВС, О-центр основания =пересечение медиан=высот=биссектрис, проводим высоту ВН на АС, уголКВО=45, КО=высота пирамиды=4*корень3, треугольник КВО прямоугольный, уголВКО=90-уголКВО=90-45=45, треугольник КВО равнобедренный, КО=ВО=4*корень3, ВН-медиана, которая в точке пересечения делится в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО=2 части, ОН=1 часть=ВО/2=4*корень3/2=2*корень3, ВН=ВО+ОН=4*корень3+2*корень3=6*корень3, АВ=ВС=АС=2*ВН*корень3/3=2*6*корень3*корень3/3=12, площадьАВС=АС в квадрате*корень3/4=144*корень3/4=36*корень3, объем=1/3*площадьАВС*КО=1/3*36*корень3*4*корень3=144