Высоты bm и dm ромба abcd проведённые из его тупых углов b и d пересекаются в точке f. найдите углы ромба, если nf: fb=mf: fd=1: 2

Высоты в ромбе равны и пересекаются на большей диагонали. ВМ=DN. ВF=DF, МF=NF.
В прямоугольном тр-ке ВNF NF:FВ, то есть катет NF вдвое меньше гипотенузы FВ, значит ∠NВF=30°. ∠NFВ=90-30=60°.
∠NFМ=180-∠NFВ=180-60=120°.
В четырёхугольнике СMNF ∠C+∠F=360-∠N-∠M=360-90-90=180°.
∠C=180-∠F=180-120=60°.
В ромбе АВСД ∠С=∠А=60°,
∠В=∠Д=180-60=120° - это ответ.

Відповідь: 20см

Пояснення: Трикутник 1 та трикутник 2 - подібні за першою ознакою подібності.

Знайдемо периметр першого трикутника:

Р₁=2*5+6=16.

Знайдемо висоту проведену до основи першого трикутника.Дивись малюнок в файлі

Так як ця висота АК одночасно є медіаною сторони за властивістю,  То АК=4 см ( Египетський трикутник 3,4,5, або за теоремою Пифагора

ΔАВК, ∠К=90°, АВ=5 см, АК=АС:2=3 см

(cм) )

Знайдемо коефіцієнт подібності трикутників k

Висоти трикутників теж відносяться між собою з коеффіціетом k

h₂=4*5=20(cм)

Продлим BM и BK до пересечения со сторонами квадрата в точках P и Q. Рассмотрим треугольник PDQ.

Центр вневписанной окружности треугольника - пересечение биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов.

Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла D. Отрезок PQ виден из центра вневписанной окружности под углом 90 -D/2. Точка B обладает обоими свойствами, следовательно является центром вневписанной окружности треугольника PDQ.

Пусть E - точка касания вневписанной окружности.

A, C - также точки касания (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

PA=PE, QC=QE (отрезки касательных из одной точки)

PB, QB - биссектрисы

△APM=△EPM, △CQK=△EQK (по двум сторонам и углу между ними)

Следовательно AM=EM, CK=EK

∠MAP=∠MEP=45, ∠KCQ=∠KEQ=45 => ∠MEK=90