Существует ли прямоугольный треугольник с гипотенузы пять и высотой гипотенузе корень из 7

Вершина прямого угла лежит на окружности с центром в середине гипотенузы, и радусом равным ее половине.  Поэтому высота к гипотенузе не больше радиуса этой окружности,  т.е. h≤2.5, Т.к. √7>2.5, то высота не может равняться √7.

Высота делит гипотенузу на два отрезка х и 5-х.
Квадрат этой высоты в прямоугольном тр-ке: h²=x·(5-x),
7=5х-х²,
х²-5х+7=0,
D=b²-4ac=(-5)²-4·1·7=25-28=-3, 
√D=√-3.
Вывод: квадратное уравнение не имеет решений, значит невозможно построить прямоугольный тр-ник с заданными параметрами.

Треугольник АВс, М - точка касания на АВ, К - точка касания на ВС, Н- точка касания на АС, АМ=14. ВМ=12

АМ=АН =14 как касательные ко  кружности, проведенные из одной точки,

ВМ=ВК=12, 

АМ+АН+ВМ+ВК+СК+СН=периметр=84

14+14+12+12+СК+СН=84

84-52 = СК+СН, СК=СН=16,

АВ=26, ВС=28 АС=30

Площадь = корень (p x (p-a) x (p-b)x (p-c))?где р -полупериметр, остальное стороны

полупериметр = 84/2=42

Площадь= корень(42 х (42-26) х (42 х 28) х (42-30)) = корень (42 х 16 х 14 х 12) = 336 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

третий угол в треугольнике равен 180-(50+70)=60градусов. Соединим точки касания отрезками.  Так как окружность вписанная, то стороны углов треугольника являются отрезками касательных, по свойству отрезков касательных они равны , поэтому треугольники равнобедренные. 

рассмотрим треугольник с углом 70 градусов, тогда остальные два угла равны (180-70):2=55градусов

рассмотрим треугольник с углом 50градусов. остальные углы в нём (180-50):2=65градусов

рассмотрим треугольник с углом 60градусов. Углы в нём равны (180-60):2=60градусов. 

углы в образовавшемся внутреннем треугольнике равны

180-(55+65)=60градусов

180-(55+60)=65градусов

180-(65+60)=55градусов