Точки a (1; 1; 5), b(4; 7; 5), c (8; 5; 5), d (5; -1; 5) являются вершинами прямоугольника abcd. найти больший угол между диагоналями прямоугольника. нужно решение с ответом

Находим координаты векторов АС и ВД:
АС = (8-1=7;5-1=4; 5-5=0) =(7;4;0).
ВД = (5-4=1; -1-7=-8; 5-5=0) = (1;-8;0).

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, делённому на произведение их модулей.

Скалярное произведение a · b = ax · bx + ay · by + az · bz,
АС*ВД = 7*1+4*(-8) = 7-32 = -25.

|AC| = √(7²+4²+0²) = √49+16) = √65.
|BD| = √(1²+(-8)²+0²) = √(1+64) = √65.

cos(AC∧BD) = -25/(√65*√65) = -25/65 = -5/13.
Угол равен  1,966 радиан или 112,6 градусов - это больший угол, так как он больше 90 градусов.

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

ответ: два решения (одно для остроугольного треугольника, другое для тупоугольного...)

1) Р = 256 (см)

2) Р = 56V21 (см)

Объяснение: треугольник АВС, основание ВС=2а (чтобы не возиться с дробями); АВ=АС=b

P = 2a+2b = 2(a+b)

а=b*cos(B); по т.синусов: b=2R*sin(B)

S = 2a*h/2 = ah; h = b*sin(B)

S = P*r/2 = (a+b)*r

(a+b)*r = ab*sin(B)

b(1+cos(B))*r = b*b*sin(B)*cos(B)

(1+cos(B))*r = 2R*sin^2(B)*cos(B)

r/(2R) = (1-cos(B))*cos(B)

обозначим х=cos(B)

x^2 - x + (6/25) = 0

(5x)^2 - 5*(5x) + 6 = 0

по т.Виета корни (3) и (2)

5х=3 ---> х = 0.6

---> sin(B) = V(1-0.36) = 0.8 или

5х=2 ---> х = 0.4

---> sin(B) = V(1-0.16) = 0.2V21

b = 2*50*0.8 = 80 или

b = 2*50*0.2V21 = 20V21

a = 80*0.6 = 48 или

а = 20V21*0.4 = 8V21

P = 2*(80+48) = 128*2 = 256 или

Р = 2*(20+8)*V21 = 56V21