60 ! известно, что длина сторон осевого сечения конуса 10; 10 и 16 ед.изм. найди длину высоты h конуса. ответ: h= ед.изм.

P- точка касания bc с окружностью.   ясно, что np ii ac; из подобия равнобедренных  треугольников npk и akc np/ac = kn/ck =1/5; из подобия равнобедренных треугольников npb и abc bp/bc = np/ac = 1/5; то есть   bp = bn = 1; an = am = mc = cp = 4;   ac = 8; ab  =  bc = 5; bm делит abc на два "египетских" треугольника (3,4,5), то есть bm = 3; r = 5*5*8/(4*8*3/2) = 25/6; опять таки теорема ван-обеля cp/pb + cm/am = ck/kn; тут же дает cp/pb = 4; то есть cp = 4; pb = 1; в этой получить это "обычным" способом тоже не сложно, но это опять "обходной" путь.

Решение будет без рисунка, но объяснять буду подробно, так что сделать рисунок самостоятельно будет не сложно. итак, дана sabc- правильная треугольная пирамида, авс- основание, правильный треугольник. sh- высота пирамиды, точка о- центр шара который  касается всех ребер нашей пирамиды и принадлежит высоте sн, so=3, а радиус шара  r= √3. итак, поехали)  1) проведем радиусы ор, к точке касания р со стороной  sc и ок, к точке касания к со стороной ас, по свойству радиуса и касательной они (радиусы и стороны) будут перпендикулярны.2) рассмотрим  ∆shc, он прямоугольный, ор┴sc, so=3, op=r=√3, по т. пифагора sp=√6,  ∆shc~∆sор (по 3-м углам). 3) пусть он=х, тогда из прямоугольного  ∆окн, по т. пифагора нк=√(3-х^2), а значит сн=2√(3-х^2) 4) из подобия треугольников  ∆shc~∆sор, составим пропорцию: оp/hc=sp/sh,  √3/(2√(3-х^2))=√6/(x+3), 3/(4(3-х^2))=6/(x+3)^2, 3/(12-4х^2)=6/(x^2+6x+9),  3(x^2+6x+9)=6(12-4х^2),  3x^2+18x+27=72-24х^2, 3x^2+2x-5=0, x= 1, so=3+1=4