На стороне ac треугольника abc отмечена точка d , так что ad=ab на стороне ab отмечена точка f так , что середина отрезка cf лежит на bd докажите что bf=cd

Пусть О - точка пересечения BD и CF. На АС возьмем точку К так, что FK||BD. Тогда, т.к. AB=AD, то ∠ABD=∠ADB, т.е. трапеция DKFB - равнобедренная, т.е. BF=DK. Но OD - средняя линия треугольника KFC (она параллельна FK и проходит через середину FC). Значит, CD=DK=BF. Что и требовалось.

Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90°; это означает, что
∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°; 
Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому 
∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1; 
легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°; 
то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник.
Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому
∠A1AO + ∠B1CO = 90°;
из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны.
Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO; 
Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и 
∠DOC1 = ∠B1BO;
Из этого подобия получается два соотношения
B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24;
BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12;
Отсюда стороны ABCD равны
AB = 18 + 4*12 = 66;
BC = 32 + 4*12 = 80;
CD = 32 + 12 = 44;
AD = 18 + 12 = 30;

Я добавляю в ответ только для демонстрации метода :)
Сразу легко сосчитать, что длина высоты к гипотенузе равна 6 (среднее геометрическое отрезков гипотенузы).
Дальше надо смотреть чертеж. Я расположил там оси вдоль высоты и гипотенузы и отметил координаты вершин и ключевых точек. По условию задачи надо найти длину отрезка AK. 
Точка К лежит на пересечении прямых BC и AM. Уравнения этих прямых составляются легко, поскольку известны точки их пересечения с осями.

(Если прямая пересекает ось X в точке (a.0) и ось Y в точке (0,b)
то её уравнение x/a + y/b = 1; 
проще всего просто убедиться, что обе точки (a,0) и (0,b) удовлетворяют этому уравнению, а через две точки можно провести только одну прямую :))

Прямая BC x/6 + y/9 = 1;
Прямая AM x/3 - y/4 = 1;
Если рассматривать эти 2 уравнения, как систему, то решением будет точка пересечения прямых K;
легко найти x = 78/17; y = 36/17; 
K (78/17, 36/17)
Длина отрезка AK находится так AK^2 = (78/17)^2 + (36/17 + 4)^2 = (130/17)^2;
AK = 130/17;

Тут есть любопытный момент. Дело в том, что треугольник AOM - египетский, и гипотенуза его равна AM = 5, то есть AM = OM*5/3; Отсюда гораздо проще вычислить AK, зная значение абсциссы точки K, равной 78/17; 
AK = (78/17)*(5/3) = 130/17; :))