Расстояния от точки пересечения диагоналей ромба до его вершин равны 8 см и 6 см, какова длина каждой из диагоналей?

16 см и 12 см, т.к. диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам 

Задача  не требует рисунка, т.к. проверяются только формулы.

1. Если высота ромба х см, то сторона ромба, лежащего в основании, равна х+0.5х=1.5х.

2. Сумма стороны и высоты 1.5х+х=7.5, откуда х=7.5/2.5=3/см/, высота 3см, сторона ромба 1.5*3=4.5/см/

3. Площадь полной поверхности состоит из двух площадей оснований ромба и площади боковой поверхности, равной произведению периметра основания на высоту. т.е. 2S₁+S₂=S; где S - площадь полной поверхности,  - S₁-площадь основания, S₂ -площадь боковой поверхности.

S₁=4.5*3=13.5/см²/; 2S₁=27/см²/;S=107 см²;

4. S₂=(S-2S₁)=107-27=80/см²/, тогда высота  параллелепипеда равна 80/(4.5*4)=40/9

5. Объем равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда, т.е. 13.5*40/9=60/см³/

Точка пересечения высот никак не является центром описанной окр-ти. Центром этой окр-ти является точка пересечения срединных перпендикуляров. Точки Н и О совпадают только для правильного(равностороннего) треугольника. Так что с условием все в порядке.

Вложения не проходят. Поэтому подробное решение высылаю по почте. Здесь отмечу ключевые моменты.

Решаем методом координат. Ось Х направим по стороне АС данного треугольника. Находим координаты ключевых точек:

А(0;0), В(8/3; (4кор5)/3), С(9; 0)

Находим уравнения необходимых прямых:

АВ: у = (кор5)х/2, 

ВС: у = (-4кор5/19)х + (36кор5)/19,

AD (высота):у = (19кор5)х/20

СЕ (высота): у = (-2кор5)х/5 + (18кор5)/5

Точка Н (пересечение СЕ и AD): (8/3; (38кор5)/15.)

МО (срединный перпенд.): у = (-2кор5)х/5 + (6кор5)/5.

ОК: х = 4,5

Точка О( пересечение ОК и МО): ((4,5; (-3кор5)/5).

ОН = кор(1049/20) = 7,24 (примерно)

ответ: ОН = 7,24

б) Находим координаты вершин ортотреугольника EFD:

Е(4; 2кор5)

F(8/3; 0)

D(80/49; (76кор5)/49)

И находим площадь по формуле через координаты вершин:

S = |(1/2)[(x1-x3)(y2-y3) -(x2-x3)(y1-y3)]| =(304кор5)/147 = 4,62

ответ: S = 4,62