Дано: ab=5см, bc=4см, ac=3см, dk=12см, de=8см, ae=bf, bd=de. найдите на рисунке равные тругольники и докажите, что они равны.

Решение:
AB = EF, потому что АЕ = BF и ВЕ это общая
ABC=EFK ( первый признак)
Следовательно, CB=EK = 4 (так как 12 - 8 = 4) 
AB=EF
DBE=ABC=DEB=FEK (вертикальные)

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

1. Треугольники АМD и CKB равны по двум сторонам и углу между ними (AD = BC - противоположные стороны параллелограмма,

AM = CK - равные части (дано) равных отрезков (АВ = CD),

∠А = ∠С - противоположные углы параллелограмма).  =>

∠AMD = ∠CKB (соответственные углы равных треугольников),

∠CKB = ∠ABК (внутренние накрест лежащие углы при параллельных AВ и CD и секущей BK).  =>  ∠AMD = ∠ABF (соответственные углы при прямых ВК и MD и секущей АВ)  =>  BK ‖ MD.

Так же и с треугольниками  ABN и СDL  => AN ‖ CL.

Итак, четырехугольник EFGH - параллелограмм по признаку: противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны.

Что и требовалось доказать.

2. Из равенства треугольников BFN и DHL (по стороне  BN=DL и прилежащим углам - доказано выше) имеем: BF = DH,  =>   FK = MH.  =>   MFKH - ‍ параллелограмм и его диагональ FH проходит через середину диагонали MK. Но MK и AC — ‍ диагонали параллелограмма AMCK и делятся пополам в точке пересечения.‍ Значит отрезок FH ‍ проходит через середину AC, точку О. Так же как и отрезок EG (доказывается аналогично).

Что и требовалось доказать.

2. 336.

4. 64.

Объяснение:

2) ABCD - прямоугольник => BC = AD = 28 см ; AC = BD, AO = OC = BO = OD =>

треугольник AOB равнобедренный, AD - основание.

OH - высота (по условию) => OH - медиана (по теореме о высоте, проведенной из вершины равнобедренного треугольника) => AH = HB.

AO = OC, AH = HD => OH - средняя линия треугольника ADC => OH = 1/2 * DC =>

DC = 6 * 2 = 12 см.

Площадь ABCD = AD * DC = 28 * 12 = 336 см квадратных.

ответ : 336 см квадратных.

4) Достроим прямую AB и точку M до прямоугольника KBCM.

ABCD - квадрат => AB = BC = DC = AD = MD.

Площадь треугольника MBC = 1/2 * MC * BC.

MC = 2 * AB, BC = AB => Площадь треугольника MBC = 1/2 * 2 * AB * AB = AB^2 (AB в квадрате).

64 = AB^2;

AB = (корень из 64)

AB = 8 см.

Площадь квадрата ABCD = AB^2.

Площадь квадрата ABCD = 8 * 8 = 64 см квадратных.

ответ : 64 см квадратных.