Большое колличество .решить через векторы. треугольник задан координатами своих вершин: а(3; 5), в(1; 3), с(4; вид треугольника .найдите координаты центра описанной около треугольника окружности .

1)Вектор АВ: (1-3=-2; 3-5=-2) =  (-2;-2).
Вектор ВС: (4-1=3; 4-3=1)   =   (3; 1).
cos(<AB-BC) = |(-2*3-2*1)|/(√(2²+2²)*√(3²+1²) = 8/(√8*√10) = 8/(4√5) =
=2/√5.

Вектор ВС: (4-1=3; 4-3=1) = (3; 1).
Вектор СА: (4-3=1;4-5=-1) = (1;-1).
cos(<ВС-СА) = |(3*1-1*1)|/(√(3²+1²)*√(1²+1²) = 2/(√10*√2) = 2/(2√5) =
=1/√5.

Вектор АВ: (1-3=-2; 3-5=-2) = (-2;-2).
Вектор АС = -СА                 = (-1;1).
cos(<АВ-АС) = |(2*1-2*1)|/(√(2²+2²)*√(1²+1²) = 0/(√8*√2)  = 0.
Если косинус равен нулю, то угол равен 90 градусов.
Треугольник прямоугольный.

2) Для определения координат центра описанной около треугольника окружности надо решить систему из уравнений двух срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Но для данной задачи это решается просто - центр находится на середине гипотенузы ВС.
Точка О((1+4)/2=2,5;(3+4)/2=3,5) = (2,5; 3,5).

SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ - AD, OP - CD, ON - BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О - центр вписанной окружности, ч.т.д.

Короче, чтобы решить эту задачу, тебе нужно будет сходить на кухню! (это не шутка, я серьёзно говорю).
1. Идешь на кухню.
2. Берешь спички или зажигалку.
3. Если у тебя балкон застеклённый, то можешь открыть дверь.
4. Возвращайся обратно за учебником или задачником, где написана задача, бери его с собой и спички (или зажигалку) не забудь!
5. Идёшь на балкон, открываешь любое окошко в нём.
6. Чиркаешь спичку, или приводишь в действие зажигалку.
7. Огнём сжигаешь данный учебник (тетрадь, задачник).
8. Ошмётки и останки от учебника скидываешь в окно с криком "Алах-бабах"
9. Приходишь в школу и говоришь учителю, что твой учебник сгорел при пожаре.
10. Всё готово!1!