Впрямоугольном треугольнике с катетом 2 и гипотенузой 4 найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из прямого угла. ответ укажите в градусах.

Из точки Е на ВС надо провести перпендикуляр. Пусть он пересекается с ВС в точке К. Тогда ВКЕ - равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты ВК = ЕК = 3. 

В прямоугольном треугольнике ЕКС катет ЕК = 3, гипотенуза ЕС = 5, то есть это "египетский" треугольник, его второй катет равен КС = 4.

Отсюда сторона квадрата ВС = 3 + 4 = 7, а площадь квадрата 7^2 = 49;

На самом деле, есть еще интересная возможность - если ЕD > BD. То есть точка E лежит на продолжении BD за точку B. В этом случае суть решения не меняется, но сторона квадрата ВС = 1, и площадь тоже 1.  

Все три треугольника подобны исходному. Предположим, что коэффициенты подобия этих треугольников x, y, z. То есть a1/a = b1/b = c1/c = x, a2/a = b2/b = c2/c = y, a3/a = b3/b = c3/c = z. Далее, легко видеть, что, например, a1 + a2 + a3 = a; то есть параллельные линии делят стороны на три отрезка, равных соответственным сторонам каждого из трех треугольников. 

Поэтому x + y + z = 1; 

С другой стороны, если отношение сторон равно x, то отношение площадей равно x^2, то есть 

x = √(S1/S); y = √(S2/S); z = √(S3/S);

поэтому 

√(S1/S) + √(S2/S) + √(S3/S) = 1; 

или

S = (√(S1) + √(S2) +√(S3))^2;

Кстати, в порядке критики другого решения (принадлежащего перу ученого GodzillAMC :) ) - из него получается, например, если выбрать в качестве точки одну из вершин, что S = 3S;