Найдите площадь прямоугольник, диагональ которого делит угол в отношении 1: 5 и равна 6 см.

Здесь нужно применить формулу нахождения площади через диагонали.
S=1/2 D1*D2* sinα, где D 1 и 2 - диагонали, альфа - угол между ними.
Теория:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Дано: АВСД - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей АС и ВД.
∠ВАС=5*∠CАД
Найти: S-?
Решение: ∠ВАС+∠САД=90°   5*∠САД+∠САД=90   6*∠САД=90   ∠САД=15°    ∠ВАС=75°
АВО - равнобедренный треугольник ∠А=∠В=75°. ∠С=180-(75+75)=30°.
Это и есть угол между диагоналями. Синус 30 град. = 1/2.
Теперь,   S=1/2 *6*6* 1/2=⇒  S=9

Объяснение:

№1

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

r=S/p

Найдём полупериметр треугольника:р=(20+2*26):2=36 см

Найдём площадь треугольника:

1)найдём высоту h,проведённую к основанию в 20 см и образовавшую прямоугольный треугольник с катетом, равным половине основания (20:2=10 см ) и гипотенузой в 26 см.

По теореме Пифагора находим высоту  

 h=√с²-в²=√26²-10²=√676-100=√576=24 см

б)найдём площадь S=1/2аh=1/2*20*24=240 см²

r=S/p=240:36≈6,7 см

№2

ME=3 см  MN=12 см

ЕN= MN-МЕ=12-3=9 см

ME*ЕN=PE*KE(по свойству пересекающихся хорд)

PE=KE,поэтому ME*ЕN=2*PE

Принимаем РЕ за х,тогда 3*9=2х,т.е. хорда РК=хорде MN=27 см

Если от вас требуют доказать это,то

2х=27

х=27:2

х=13,5 см -РЕ

РК=2*РЕ=2*13,5=27 см

В условии  допущена опечатка: не может хорда MN быть меньше своей собственной части ME.Поэтому решила по отредактированному условию.

1) Разносторонний
2)Если AB=BC и угол C=60° то получается,что углы "A" и "C" по 60°, а значит угол B тоже 60°(т.к. сумма углов в треугольнике равна 180°).А из этого следует,что треугольник ABC равносторонний и все стороны у него равны(т.е. по 6см)
3)Медиана из острого угла равна корню квадратному из суммы квадрата половины катета, на который проведена медиана и квадрата второго катета(Сейчас объясню почему).
У нас есть стороны 16см;15см;8см и есть правило:В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гепотенузы(А значит угол, из которого опущена медиана, является острым)
Идём дальше, и исходим из вышеперечисленного правила и находим медиану.
Медиана= √16+225=√241.(Берём половину 8см и возводим в квадрат и прибавляем квадрат другого катета)
Начерти на листке чертежи и всё поймёшь.
Если уже изучили квадратные корни то решение будет гуд.