Сторони основи прямого паралельноо паралепіпета дорівнють 3 см. і 5 см.; кут між ними дорівнює 60 градусів. більша діогональ паралепітета дорівнює 10 см. знайдіть бічне ребро паралепіпета.

1) большая диагональ основания - проекция большей диг-ли параллелепипеда на плоскость основания. найдем эту диагональ основания по теореме косинусов:

ac^2=ab^2+cb^2-2*ab*cb*cos(180-60)=9+25-30*(-1/2)=34+15=49; => ac=7

2) рассмотрим прямоугольный тр-к, образованный большей диагональю основания, боковым ребром и большей диагональю параллелепипеда и найдем боковое ребро (катет) по теореме пифагора: cc1^2=10^2-7^2=100-49=51; => cc1=sqrt(51)

1)надо продлить прямую ab за точку a до пересечения с прямой n в точке с, 2) обозначить центр окружности o. 3) провести из точки a перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки a на прямую n). пусть это - точка n. 4) проекция точки b на n - точка m 5) проекция точки o (центра окружности) точка k; 6) через точку a надо провести прямую ii n, пусть она пересекает  bm в точке f и ok в точке e; 7) и последнее - через точку o тоже проводится прямая ii n до пересечения с bm в точке d; итак, есть касательная ck и секущая cb к окружности с центром в точке o. очевидно, что afmn - прямоугольник, поэтому bf = bm - an = 5 - 1 = 4;   в прямоугольном треугольнике afb известны гипотенуза ab = 2√5 и катет bf = 4; откуда af = 2; разумеется nm = af = 2; и кроме того, an = fm = ek = 1; поскольку aekn - тоже прямоугольник. из подобия треугольников afn и acn легко найти cn = 1/2; ясно, что cm = сn + nm = 1/2 + 2 = 5/2; чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности r; и пусть ck =  a; тогда ob = oa = ok = r; ae  = ck - cn = a - 1/2; od = ck - cm = a - 5/2; из треугольника bod od^2 + bd^2 = ob^2;   bd = bm - r; (a - 5/2)^2 + (5 - r)^2 = r^2; или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10r = 0; из треугольника aoe ae^2 + oe^2 = ao^2; oe = r - ek = r - 1; (a - 1/2)^2 + (r - 1)^2 = r^2; a^2 - a + 1/4 + 1 - 2r = 0; если исключить r из двух полученных уравнений, получится a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2); второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель : ).  после этого легко найти и r, 2r = 1 + (a - 1/2)^2; в первом случае r = 5/2; во втором r = 5; второе решение отличается от первого тем, что точка k лежит с другой стороны от точки c, чем точки m и n. поэтому a получилось отрицательное. при этом дуга окружности ab лежит ниже прямой ab.

А). рассмотрим треугольники вмр и вкр. они равны по двум сторонам и углу между ними: - вм=вк по условию; - вр - общая сторона; - углы мвр и квр равны, т.к. высота вн равнобедренного треугольника авс, проведенная к его основанию ас является также и биссектрисой. в равных треугольниках вмр и вкр равны соответственные углы вмр и вкр. б). рассмотрим треугольник мрк. здесь рм=рк как соответственные стороны равных треугольников вмр и вкр. значит мрк - равнобедренный треугольник, следовательно, углы кмр и мкр при его основании мк равны.