Утрикутнику mpk кут р 60 відстань від центра вписаного у трикутник кола до вершини р 9, 8 знайти радіус

Vпир=(1/3)*sосн*h sбок=(1/2)*pосн*l, где sосн - площадь основания (правильный треугольник), h - высота пирамиды, pосн - периметр основания, l - апофема=боковое ребро пирамиды. sосн= sбок= найдём объём пирамиды.  пусть sabc - пирамида, so=h - её  высота. проведём см - высоту в равностороннем треугольнике основания (она также будет являться медианой) и медиану bl. тогда точка o окажется в точке пересечения медиан. медианы точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины, то есть co=(2/3)cm. из прямоугольного треугольника cmb найдём  . тогда  . по теореме пифагора в  δsoc:   . 

для начала найдем высоту h в треугольнике, опущенную на сторону 14.

есть 2 способа, тупой и простой.

тупой.

площадь по формуле герона равна 84, значит высота 12.

простой. 

пусть кусочек стороны 14 от основания высоты до стороны 13 обозначен х, тогда

h^2 + x^2 = 13^2;

h^2 + (14 - x)^2 = 15^2; c учетом первого уравнения x = (13^2 + 14^2 - 15^2)/(2*14) =5; h = 12; (опять пифагрова тройка 5, 12, 13 : ))

теперь есть прямоугольный треугольник, у которого h (искомое расстояние) это один катет, h = 12 - другой, а гипотенуза имеет длину 20.

можно опять тупо сосчитать h, но ответ все равно будет 16 - тут опять пифагорова тройка (12, 16, 20) - кратная (3, 4, 5).

ответ 16.