Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 9 см. определи длину медианы этого треугольника.

Дано :
∠ C =90°
a =CB=12 см ; || 3*4||
b =AC=9  см .   || 3*3||             * * *  c =3*5 =15* * *

m(c) - ?
m(a) - ?
m(b) - ?

По теореме Пифагора : c² =a² +b² =12²+9²=3²(4²+3²) =3²*5² ⇒ c = 15  (см) .
* * *Δ ABC_Пифагорова треугольник (стороны целые числа) : 
 a =12=3*4 ; b =9 =3*3 , c=3*5 =15  * * *).

m(c) = c/2 =15 /2  см .
m(a)  =√(b² +(a /2)²) =√(9² +6²)=√117 (см) ;
m(b)  =√(a² +(b /2)²) =√(12² +(9/2)² )=(√ 657)/2 =(3√73)/2  (см) ;

ответ : 7, 5  см ; 117 см ;  (3√73)/2  см .  .

Медиана в прямоуг. треуг. равна половине гипотенузы. Гипотенузу найдем по т. Пифагора
х=12^2+9^2=144+81=225=15^2
Тогда медиана =15:2=7.5

 Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника.
Точку пересечения диагоналей обозначим через О.
Треугольники АВО и СДО имеют равные площади  .
Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (<AOD=<BOC , <CBO=<ADO)
В подобных треугольниках  линейные отрезки относятся как корни из площадей,
поэтому 
 
Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую  высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда
  
 Замечание. Докажем, что  

 
 
 Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД:  

Ну раз вы два раза публикуете, заберем очки :))) нехорошо конечно...

проводим через точку А общую касательную АК (не важно, как далеко К, пусть она на ВС, для ясности). Нм надо найти сумму углов ОАК и О1АК.

Угол ВАК измеряется половиной дуги АВ окружности с центром О, а угол САК измеряется половиной дуги АС окружности с центром О1 - это углы между касательной АК и секущими АВ и АС (в разных окружностях, конечно).

Центральные углы этих дуг (углы ВОА и СО1А) - это не прямые углы при основаниях в прямоугольной трапеции ОО1СВ. Поэтому сумма их равна 180 градусам (ну, как там это называется, внутренние односторонние углы при параллельных, вроде, ясно, что ОВ II О1С).

Поэтому сумма  углов ВАК и САК = 180/2 = 90. чтд.