Найдете площади и периметр ромба если его диагонали равны 8 и 10 см.

Диагонали ромба = 8 см и 10 см. 
Ромб разбивается диагоналями на 4 прямоугольных равных треугольника с катетами, равными 8:2=4 см и 10:2=5 см.
Площадь одного такого треугольника равна S=0,5·4·5=10 (cм²).
Площадь ромба равна  4S=40 (см²)

Имеем треугольник АВС со сторонами АВ:ВС=15:41; и высотой ВД; Проекции сторон на основание АС равно АД=12; СД=40; Обозначим коэффициенты подобия сторон AB за Х, она будет равна 15 Х, а проекцию стороны СД за У и она будет равна 41У; Тогда справедливо равенство:15Х+41У=56;Так как их сумма равна 56 по УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ; Приняв коэффициенты подобия за 1 в обоих случаях имеем15+41=56; Проверим данный ответ через длину их общей высоты АД, она должна иметь одно и то же значение: АД^2=41^2-40^2=81; 15^2-12^2=81; 81=81; Решение верно! ответ:АВ=15; ВС=41;

Известна формула радиуса описанной окружности треугольника. 
R=abc:4S, где а,b,c- стороны треугольника, Ѕ - его площадь. 
Для этой формулы нужна высота треугольника. 
Ее можно выразить через основание, и в итоге самостоятельно  прийти к формуле радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника:
R=a²:√(4a²-b²)  
- где а- боковая сторона, b- основание. 
Возведем обе части уравнения в квадрат:
R²=а⁴:(4а²-b²)
и выразим b² через радиус и боковую сторону:
R²*4a²-R²*b²=a⁴
R²-4a²-a⁴=R²*b²
a²(4R²-a²)=R²*b²
b²=a²(4R²-a²):R² 
Подставим в получившееся выражение известные величины:
b²=400*(625-400):156,25
b²=576
b=24 (единиц длины)