Вравнобедренной трапеции abcd, сторона ad параллельна bc, угол a=30 градусов, высота bk=1 сантиметр, bc=2 корня из 3. нужно найти площадь трапеции и площадь треугольника kmd - где m середина отрезка bd

Дополнительно проведём высоту CL.
KL = BC = 2√3 см
AK = BK / tg 30° = 1 / √3/3 = √3 см
LD = AK = √3 см
KD = KL + LD = 2√3 + √3 = 3√3 см
AD = AK + KD = √3 + 3√3 = 4√3 см
S(ABCD) = 1/2·(AD + BC)·BK = 1/2·(4√3 + 2√3)·1 = 3√3 см²
S(ΔDKB) = 1/2·KD·BK = 1/2·3√3·1 = 3√3/2 см²
KM -- медиана ΔDKB, поэтому S(ΔKMD) = 1/2·S(ΔDKB) =1/2·3√3/2 = 3√3/4 см²
ответ: S(ABCD) = 3√3 см², S(ΔKMD) = 3√3/4 см².

Отрезки касательных из одной точки к окружности равны. Поэтому сторона CD(основание) = 24см (треугольник BCD - равнобедренный, значит отрезки сторон от точек касания вписанной окружности до вершин C и D - равны по12см). тогда по формуле радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник:

r = b/2√[(2a-b)/(2a+b)], где a - боковая сторона, b - основание)

имеем: 12√6/54 = 12/3 = 4см.

 

или по более общей формуле радиуса окружности вписанной в треугольник через полупериметр:

r = √(p-a)(p-b)(p-c)/p = √12*12*3/27 = 4см (р - полупериметр (15+15+24):2 = 27)

Треугольник ДВС равнобедренный. Значит, биссектрисы углов  при основании  треугольника делят его на равные доли. Центр окружности - точка О. Точка касания окружности в основании треугольника - Н. Треугольник ОНС и треугольник ОРС равны. Оба прямоугольные и гипотенуза общая, катеты равны радиусу вписанной окружности. Отсюда РС=НС=12 см. Но треугольник ДОС равнобедреный. У него углы при основании равны, значит ДН=НС=12 см.  Т.е. ОН делит ДС пополам и является перпендикуляром, а ВО - биссектриса угла В. Смежные углы ВОР, РОС и СОН в сумме дают 180 градусов. Значит ВН - прямая линия! Она медиана, высота и биссектриса при вершине угла В равнобедренного треугольника. Находи её по теореме Пифагора. Она равна  корень из (225-144) = 9 см. А теперь из треугольника ВОР ищем ОР.  (9-х)^2 - x^2=9  Отсюда

81-18х+x^2-x^2=9   18x=72    x=4.  Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСД равен 4 см.