Втреугольнике авс проведена биссектриса al, угол alc равен 75 градусов, угол авс равен 35 градусов. найдите угол аcв. ответ дайте в градусах.

∠ALB = 180° - ∠ALC = 180° - 75° = 105° - по свойству смежных углов.
∠LAB = 180° - ∠ALB - ∠ABC = 180° - 105° - 35° = 40°.
∠BAL = ∠CAL = 1/2∠BAC, т.к. AL - биссектриса. Тогда ∠BAC = 2∠BAL = 2•40° = 80°
∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 80° - 35° = 65°.
ответ: 65°.

Решение:
Угол ALC + угол ABL= 180°. Угол ABL= 180° - 75° = 105°. Рассмотрим треугольник ABL: угол ABL =35°, угол ALB = 105°. Тогда угол BAL = 180° - (105°+35°) = 40°. Поскольку AL - бисектриса, то угол BAL = углу LAC = 40°. Рассмотрим треугольник ACL: угол ALC = 75°, угол LAC = 40°, тогда угол ACL = 180° - (75°+40°)= 65°.
ответ: 65°.

Построение сводится к проведению перпендикуляра из  точки к прямой. 

Из вершины А, как из центра,  раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим  эту точку К.

∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.

Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой. 

Для этого из точек К и С, как из центра,  одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А. 

Отрезок АМ разделил КС пополам и является  искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А. 

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A

;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны

Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;

Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;

Вектор имеет длину ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;

Значит , а стало быть ;

В итоге .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

/// примечание: ;

/// примечание: .