Найти площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8см и 10см.

Sромба=½d1×d2=½10*8=40 см²(половина задания)

Прямоугольный параллелепипед.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 415). Из прямоугольного треугольника АСС по теореме Пифагора получаем:

Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС2=АВ2+ ВС2. Отсюда

Ребра АВ, ВС и СС не параллельны,  а  следовательно,  их  длины являются линейными размерами параллелепипеда .

Теорема доказана.

1.Объём получившегося тела вращения -  сумма объёмов цилиндра с  и конуса с общим основанием с радиусом, равны высоте трапеции. 

Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне. 

ВН=3 ⇒ r=3

По т. Пифагора высота конуса АН= √(BA²-BH²)=4

Высота цилиндра DH =8-4=4

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту 

Vц=π3²•4=36π см³

Объём конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту. 

Vk=π3²•4/3=12π см³

V=36π+12π=48π см³ (см. приложение)

------------------

2. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90°, угол САВ=α, катет АС=а. 

Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα 

Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу. 

Высота h2 меньшего конуса  - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу. 

Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов. 

V=V1+V2

r= a•sin α

V1=π•r²AH/3

V2= π•r²•BH/3

V=π•r²AH/3+ π•r²•BH/3

V=π•r²(AH+BH)/3; 

    AH+BH=AB

V=π•r²•AB/3 

AB=AC/cosα=a/cosα 

V=π•(a•sin α)²•(a/cosα):3=a³•sin²α/3cosα