Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 см и 35 см. найдите меньшее основание трапеции, если большее равно 27 см.

Проведем СК║BD. DBCK - параллелограмм
⇒CK = BD = 35, DK = BC.
Тогда в ΔACK : AC = 12, CK = 35, ∠ACK = 90°
По теореме Пифагора:
AK = √(35² + 12²) = √1369 = 37
⇒DK = AK - AD = 37 - 27 = 10
BC = 10

Треугольники подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. В нашем случае угол М является общим для обоих треугольников AMD и BMC, а угол BCM треугольника ВМС соответственно равен углу A треугольника  AMD . Докажем, что это так.
1). Пользуясь тем, что в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов, запишем:
<A+<BCD=180°, отсюда
<A=180°-<BCD
2). Рассмотрим вписанный угол BCD. Он опирается на дугу окружности BAD, следовательно, равен ее половине:
<BCD=1/2 BAD.
3). Подставим в 1) значение для угла BCD:
<A=180°-1/2 BAD
4). Рассмотрим треуг-ик ВМС. Здесь угол ВСМ можно выразить как <BCM=180°-<BCD. Подставим сюда полученное в 2) значение для угла BCD:
<BCM=180°-1/2 BAD
5). Из 3) и 4) выражений видно, что <A=<BCM, что и требовалось доказать. 

Любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно соединить в треугольник.
Соединив А, В, С - получим треугольник, вписанный в данную окружность. Хорда ВС - сторона этого треугольника.
Сторону ВС  можно вычислить по теореме синусов.
ВС:sin (45)=2R
ВС=2R*sin (45°)
ВС=16*(√2/2)=8√2
Где бы ни располагалась точка А,  угол САВ, как вписанный и равный 45°,  будет равен половине центрального угла, а хорда, стягивающая дугу этого угла, будет одинаковой длины.
Следовательно, треугольник АВС может быть как разносторонним, так и равнобедренным, угол ВАС - опираться на диаметр АС, который равен 16. d=a√2=16
ВС=a=8√2