Через внутреннюю точку квадрата, со стороной 12 см, проведены прямые, параллельный его сторонам. одна прямая делит сторону в отношении 1: 5, а другая - в отношении 7: 5. образовалось четыре четырёхугольника. найдите площадь наименьшего четырёхугольника.

Пусть проведены прямые LM и NE через точку R.
LD:LA = 1:5
AL + LD = AD = 12 см
Тогда AL = 10 см, а , LD = 2 см.
LMCD - прямоугольник => LM = DC = 12 см, LD = MC = 2 см.

DE:EC = 7:5
DE + EC = DC = 12 см
Тогда DE = 7 см, а ЕС = 5 см.
MC < BM, EC < DE. Тогда наименьшую площадь будет иметь прямоугольник REСМ.
SREСМ = EC•MC = 5 см • 2 см = 10 см².
ответ: 10 см².

Можно по т.Пифагора найти половину второй диагонали из одного из прямоугольных треугольников, на которые диагонали при пересечении делят ромб, и затем умножить на 2. 
Как правило, именно такой решения дается к подобной задаче. 
Есть другой решения этой задачи. 
Вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 
                      Т.е. d²+D²=2•(a²+b²)
Ромб - параллелограмм с равными сторонами. 
                  Тогда d²+D²=4•a²⇒
12²+D²=4•100 ⇒
D²=400-144=256
                  D=√256=16 см

1. <C=180-130=50°
Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то
<A=<C=50°
<B=180-<A-<C=180-50*2=80°

2. <C=180-100=80°
Примем угол А за х, тогда угол В будет 3х. Зная, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, запишем:
<A+<B=100
x+3x=100
4x=100
x=25
<A=25°, <B=3*25=75°

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит
<A=<B=(180-<C):2=(180-100):2=40°
Поскольку биссектрисы углов А и В делят их пополам,
<DAB=<DBA=40:2=20°
<ADB=180-20*2=140°