Известно, что в трапецию abcd с основаниями ad и вс можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, ef – её средняя линия. известно, что ав + cd + ef = 18. найдите периметр трапеции (1)

Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180° – обязательное условие для этого.
У трапеции АВСД, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Если дано АВ + CD + EF = 18, то АВ + CD = 2EF.
Отсюда вывод: 2EF+EF = 18,  3EF = 18,  EF = 18/3 = 6.
Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии трапеции. То есть периметр такой трапеции равен 4 средним линиям: Р = 4EF = 4*6 = 24. 

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ответ: 2/3

На прямой откладываем известную сторону, например, АВ = 4,3см.
Теперь надо построить угол А = 23°. По таблице, или по калькулятору определяем тангенс этого угла. Он равен 0,42. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. То есть, например, 4,2/10 или 0,84/2 = 0,42. Откладываем на отрезке АВ отрезок АК, равный 2см и восстанавливаем с циркуля перпендикуляр из точки АК. На этом перпендикуляре откладываем отрезок КМ =0,84см. Соединяем точки А и М и получаем угол 23°. На прямой АМ откладываем отрезок АС = 2,3см и полученную точку С соединяем с точкой В.
Итак, мы построили треугольник АВС с нужными параметрами.