Втрапеции abcd основание вс перпендикулярно боковой стороне ав, угол cad равен 30°, диагональ ас перпендикулярна стороне cd, равной 6 см. найдите длину основания вс.

Рисуем трапецию АВСД. Проводим диагональ АС. Обозначим АВ = х
Угол САД = 180 - (угод Д + угол АСД) = 180 - (60 + 90) = 30 град
Угол ВАС = угол САД = 30 град (по условию)
Угол ВСА = угол САД = 30 град (свойства трапеции)
Следовательно угол ВАС = угол ВСА и треугольник АВС - равнобедренный
ВС = АВ = х
Угол А = угол ВАС + угол САД = 30 + 30 = 60 град
Следовательно угол А = угол Д и трапеция равнобедренная
СД = АВ = х
АД = СД / синус САД = х / синус 30 = х / (1/2) = 2х
Периметр трапеции
АВ + ВС + СД + АД = х + х + х + 2х = 35
5х = 35
х = 7
АВ = х = 7 см

Так как, по условию, призма правильная, то в ее основании лежит правильный треугольник, тогда АВ = ВС = АС. Пусть сторона треугольника будет а см, а высота призмы h см.

Так как в основании окружность описана вокруг правильного треугольника, то ее радиус будет равен:

R = а / √3 см, тогда а = R * √3 см.

Площадь основания призмы будет равна: Sосн1 = а2 * √3 / 4.

Тогда объем призмы будет равен: Vпр = h * а2 * √3 / 4 = h * (R * √3)2 * √3 / 4 = h * R2 * 3 * √3 / 4.

R2 * h = 4 * Vпр / 3 * √3 = 4 * √3 * Vпр / 9.

Объем цилиндра равен:

Vцил = п * R2 * h = п * 4 * √3 * Vпр / 9.

ответ: Объем цилиндра равен п * 4 * √3 * Vпр / 9 см3.

Условие задачи неполное. Должно быть так:

Найдите объем прямой призмы АВСАВ₁С₁, если

∠АВ₁С = 60°, АВ₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

Призма прямая, значит боковые грани - прямоугольники. Тогда

АВ⊥ВВ₁, СВ⊥ВВ₁, значит ∠АВС = 90° - линейный угол двугранного угла с ребром ВВ₁.

Из треугольника АВ₁С по теореме косинусов найдем АС:

АС² = AB₁² + CB₁² - 2·AB₁·CB₁·cos∠AB₁C

AC² = 9 + 4 - 2 · 3 · 2 · 1/2 = 13 - 6 = 7

AC = √7

Пусть АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

По теореме Пифагора составим три уравнения:

ΔАВС:  a² + b² = 7

ΔABB₁:  a² + c² = 9

ΔCBB₁:  b² + c² = 4

Получили систему из трех уравнений с тремя переменными. Сложим все три уравнения:

2(a² + b² + c²) = 20

a² + b² + c² = 10

Теперь из этого уравнения вычтем каждое. Получим:

с² = 3

b² = 1

a² = 6

Откуда:

с = √3,  b = 1,  a = √6.

V = Sabc · BB₁ = 1/2 · ab · c = 1/2 · √6 · 1 · √3 = 3√2/2