Какова наибольшая возможная площадь треугольника, у которого одна из вершин является центром окружности радиуса 2, а две другие вершины лежат на этой окружности?

Боковые стороны равнобедренного треугольника, построенного таким равны R (радиус) . Угол между ними α
Площадь треугольника равна
0,5*R*R*sin(α)
будет наибольшей, если синус равен 1, тогда α=90°
Площадь будет равна
0,5*R² 

А)сечение EFGH
строим в плоскости АВС прямую FG проходящую через О параллельно АВ
строим в плоскости SCK прямую OL проходящую через О параллельно SC
получаем точку L
cтроим в плоскости ASB через точку L прямую ЕН параллельно АВ
соединяем точкм EHGF получаем сечение

б)точка пересечения медиан делит их в отношении 2 к 1
ОС относится к КО =2/1
треугольники FСG и AСB подобны 
FG/AB=2/3
FG=(2AB)/3=(2a)/3
OL параллельна SC
SL/LK=2/1
треугольники SEH и SAB подобны 
EH/AB=2/3
EH=(2a)/3
SH/HB=GC/GB=2/1
HG=SС/3=b/3
также EF=b/3
P=EH+HG+FG+EF=((2a)/3)+((2a)/3)+(b/3)+(b/3)=(2(2a+b))/3

Так как все ребра пирамиды равны, эта пирамида правильная и в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат со стороной, равной 2.  Тогда боковые грани нашей пирамиды - равносторонние треугольники со сторонами =2 см.
Сечение проходит через точку К, параллельно диагонали основания АС.
Значит линия пересечения основания плоскостью SPK будет параллельна АС. Итак, РК параллельна АС и проходит через середины ребер AD и DC.
РК - средняя линия треугольника АDC и равна  РК=(1/2)*АС.
АС - диагональ квадрата и равна АС=2√2.
РК=√2. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна по Пифагору
SP=SK=√(4-1)=√3. Тогда периметр сечения (равнобедренного треугольника) равен Р=√2+2√3. Это ответ.