Дана правильная шестиугольная пирамида. чему равен объём пирамиды, если апофема пирамиды равна 6, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6?

Радиус окружности равен стороне основания пирамиды то есть 6.
Чтобы найти высоту пирамиды  надо по т Пифагора  из квадрата апофемы вычесть квадрат ее проекции на основание, а проекцию то же по т Пифагора √(а²-(а/2)²)=а√3/2=3*√3
Высота будет равна√(6²-(3√3)=√(36-27)=√9=3
V пир=1/3Sосн*H
S осн 3*√3/2*а²=3√3/2*6²=54√3
Vпир=1/3*54√3*3=54√3

Если Вы еще не изучали, что такое синус угла,  можно обойтись без него. 
См. рисунок.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°  
Следовательно,  угол С равен 180°-150°=30°.
 Опустив из С высоту на продолжение АD, получим прямоугольный треугольник с острым углом СDН, равным 30°, т.к. он - накрестлежащий при пересечении параллельных прямых секущей СD.  
Наверняка Вам уже известно, что сторона прямоугольного треугольника, противолежащая углу 30 °  равна половине гипотенузы этого треугольника. 
Высота СН равна половине СD
СD=2*СН=4 см  
Но в параллелограмме противоположные стороны равны и параллелльны.
Следовательно,
 АВ=СD=4 см

На сторонах AB, BC, CD и DA  четырехугольника ABCD отмечены соответственные точки  M N P и Q так что, AM=СP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что  ABCD, MNPQ - параллелограммы.

                                 ***

Обозначим равные отрезки одинаковыми буквами:

АМ=СР=а

BN=DQ=b

BM=DP=c

NC=QA=d

АВ=а+с

СD=a+c  ⇒ AB=CD

BC=b+d

AD=b+d  ⇒ BC=AD

В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. ⇒

АВСD - параллелограмм ( 2-й признак)

–––––––––––––––––––––

Рассмотрим ∆ MBN и ∆ PDQ

∠ А=∠С как противоположные углы параллелограмма АВСD.

Содержащие эти углы стороны равны по условию ⇒

 ∆ MBN = ∆ PDQ по 1-му признаку.⇒ MN=PQ

Аналогично доказывается равенство сторон  MQ и NP

В четырехугольнике MNРQ противоположные стороны равны  ⇒ MNРQ - параллелограмм.