Отрезки ab и cd пересекаются в точке o, являющеся середино каждого из них. докажите, что: а)треугольники aod и boc равны; б) угол dao = углу cbo

Так как AD = BD, треугольник ABD - равнобедренный, значит, по определению, углы DAB и DBA равны.

Так как DC = BC, треугольник DBC равнобедренный, значит, по определению, углы CDB и CBD равны.

Так как треугольник АВС по условию равнобедренный, углы DAB и DCB равны.

Углы ADB и CDB в сумме имеют 180°, так как их стороны образуют прямую АС, а угол CDB равен сумме углов DAB и DBA как внешний угол по отношению к треугольнику ABD.

Тогда ∠CDB = 2∠DCB = ∠CBD, и 2∠DCB + 2∠DCB + ∠DCB = 5∠DCB = 180°, откуда ∠DCB = 180:5 = 36°.

∠DAB = ∠DCB = 36°, и, наконец, ∠АВС = ∠CBD + ∠DBA = 2∠DCB + ∠DCB = 3*36 = 108°.

Углы треугольника АВС равны 108°, 36° и 36°

ответ:  108°, 36° и 36°

В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:

1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а  Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:

из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:

КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.