Точки m и n явл серединками сторон ab bc треугольника abc, сторона ab равна 42, сторона bc равна 44, сторона ac равна 62. найти mn

MN - средняя линия треугольника, равна половине основания АС
АС/2=62/2=31

ВС-фиксированная сторона,обозначим ее длину буквой а,
АМ-фиксированная медиана основания, АМ≡m
теперь перейдем непосредственно к построению:
с линейки проведем любую прямую и отмерим на ней отрезок длиною а.затем проведем серединный перпендикуляр данного отрезка.на данном перпендикуляре отмерим отрезок длиною m.так как в равнобедренном треугольнике медиана основания является её де высотой и биссектрисой ,то отрезок АМ (М∈ВС) будет медианой для треугольника ,который требуется построить .вообщем,  соединяем концы отрезка а со вторым концом отрезка m и получаем треугольник АВС.

Теорема Шаля

Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования(движения) плоскости. Её доказал геометр и механик Мишель Шаль (1793—1880)

Всякое сохраняющее ориентациюдвижение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию), либо параллельный перенос. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.

При обобщении на трёхмерное пространство формулировка даже упрощается:

Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.

Также теоремой Шаля называют некоторые другие утверждения (см. англ. статью, [1] или [2]).

Доказательство

Основные идеи доказательства:

Любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.

Любое движение представимо в виде композиции не более чем трех осевых симметрий.

Перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трех осевых симметрий.