Найдите исходящие из одной вершины диагонали правильного двенадцатиугольника, вписаного в окружность 8 см

Количество диагоналей N, исходящих из одной вершины  многоугольника, находят  по формуле: 

N = n – 3, где n — число вершин многоугольника.. 

Для 12-ти угольника N=12-3=9. (См. рисунок приложения)

Самая длинная  диагональ  правильного двенадцатиугольника - диаметр описанной вокруг него окружности. 

Самая короткая  равна радиусу описанной окружности.

Если соединить вершины данного 12-угольника через две, получим квадрат ТВЕМ.  Диаметр описанной вокруг квадрата окружности равен диагонали квадрата. Сторона  ВЕ вписанного в окружность квадрата равна R√2 

Соединив вершины данного многоугольника через 3, получим правильный треугольник РВF.  В ∆ МВF угол MFB опирается на диаметр и равен 90°.  BM делит угол при вершине В пополам, МВF=30º, диагональ BF=ВМ•cos30º=2R•√3/2=R√3

Диагональ ВК- сторона равнобедренного ∆ NBK. NК равна стороне вписанного шестиугольника и равна R. Центральный угол NOK=60º, угол NBK как вписанный равен 30°. ВМ делит угол NBK пополам.  

В ∆ МВК угол ВКМ опирается на диаметр и равен 90°. ВК=2R•соs15º=R•(√3+1)/2√2 ( таково точное значение косинуса 15°).

Итак, длина диагоналей:

BD=BH=R

BE=BT=R√2

BM=2R

BF=BP=R √3

BK=BN=R•(√3+1)/2√2 

--------------

Из условия неясно, 8 см - радиус или длина окружности. Скорее всего,  R=8 см. Тогда в найденные длины диагоналей нужно вместо R подставить 8. 

Если 8 см=длина окружности, тогда из формулы С=2πR радиус R=4/π

№1 трапеция АВСД, СД=25, ОД=15, ОВ=9, треугольник АОВ подобен треугольнику ДОС по двум равным углам (уголАОВ=уголДОС как вертикальные, уголДСО=уголВАО как внутренние разносторонние), АВ/СД=ОВ/ОД, АВ/25=9/15, АВ=25*9/15=15, ДС/АВ=ОС/ОА, 25/15=ОС/ОА, 5/3=ОС/ОА, площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, площадь АОВ/площадь ДОС=АВ в квадрате/СД в квадрате=225/625=9/25

№2 треугольник АВС подобен трецугольнику КМН по третьему признаку (три стороны одного треугольника пропорцианальны трем сторонаим другого), АВ/КМ=8/10=4/5, ВС/МН=12/15=4/5, АС/КН=16/20=4/5, пропорции равны,  вподобных треугольниках против подобных сторон лежат равные углы, уголА=уголК=80, уголВ=уголМ=60, уголС=уголН=(180-80-60)=40

№3 трапеция АВСД, ВС=4, АД=12, площадь АОД=45, треугольник ВОС подобен треугольнику АОД по двум равным углам (уголВОС=уголАОД как вертикальные, уголОАД=уголВСО как внутренние разносторонние), площади относятся как квадраты сторон, ВС/АД=4/12=1/3, площадь ВОС/площадь АОД=(ВС/АД) в квадрате, площадь ВОС/45=1/9, площадь ВОС=45*1/9=5

№1 трапеция АВСД, СД=25, ОД=15, ОВ=9, треугольник АОВ подобен треугольнику ДОС по двум равным углам (уголАОВ=уголДОС как вертикальные, уголДСО=уголВАО как внутренние разносторонние), АВ/СД=ОВ/ОД, АВ/25=9/15, АВ=25*9/15=15, ДС/АВ=ОС/ОА, 25/15=ОС/ОА, 5/3=ОС/ОА, площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, площадь АОВ/площадь ДОС=АВ в квадрате/СД в квадрате=225/625=9/25

№2 треугольник АВС подобен трецугольнику КМН по третьему признаку (три стороны одного треугольника пропорцианальны трем сторонаим другого), АВ/КМ=8/10=4/5, ВС/МН=12/15=4/5, АС/КН=16/20=4/5, пропорции равны,  вподобных треугольниках против подобных сторон лежат равные углы, уголА=уголК=80, уголВ=уголМ=60, уголС=уголН=(180-80-60)=40

№3 трапеция АВСД, ВС=4, АД=12, площадь АОД=45, треугольник ВОС подобен треугольнику АОД по двум равным углам (уголВОС=уголАОД как вертикальные, уголОАД=уголВСО как внутренние разносторонние), площади относятся как квадраты сторон, ВС/АД=4/12=1/3, площадь ВОС/площадь АОД=(ВС/АД) в квадрате, площадь ВОС/45=1/9, площадь ВОС=45*1/9=5