Докажите , что сумма углов звездочки равна 180 градусам

Итак . Во-первых, - неправильная формулировка вопроса.. . Сумма внутренних углов пятиконечной звезды равна 180-ти градусам. Никак не всех её углов. Причина любая пятиконечная звезда, если учитывать только внутренние углы - это треугольник.

Рассмотрим основание призмы - треугольник ABC, в нем AB=5, AC=3,угол BAC=120°, тогда за теоремой косинусов находим третью сторону треугольника

    (BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 - 2*AC*BC*cos(120°)

     (BC)^2=25+9+15=49 => BC=7

Отсюда следует что сторона ВС в призме создает наибольшую площадь боковой грани, то есть

              Sбок.гр=BC*H => H=35/7=5

Найдем площадь основания призмы

             Sосн=AB*AC*sin(120°)/2 => Sосн=5*3*sqrt(3)/(2*2)=15sqrt(3)/4

Далее находим объем призмы

           V=Sосн*H =15sqrt(3)/4 * 5=75sqrt(3)/4

Условие задачи неполное. Должно быть так:

Найдите объем прямой призмы АВСАВ₁С₁, если

∠АВ₁С = 60°, АВ₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

Призма прямая, значит боковые грани - прямоугольники. Тогда

АВ⊥ВВ₁, СВ⊥ВВ₁, значит ∠АВС = 90° - линейный угол двугранного угла с ребром ВВ₁.

Из треугольника АВ₁С по теореме косинусов найдем АС:

АС² = AB₁² + CB₁² - 2·AB₁·CB₁·cos∠AB₁C

AC² = 9 + 4 - 2 · 3 · 2 · 1/2 = 13 - 6 = 7

AC = √7

Пусть АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

По теореме Пифагора составим три уравнения:

ΔАВС:  a² + b² = 7

ΔABB₁:  a² + c² = 9

ΔCBB₁:  b² + c² = 4

Получили систему из трех уравнений с тремя переменными. Сложим все три уравнения:

2(a² + b² + c²) = 20

a² + b² + c² = 10

Теперь из этого уравнения вычтем каждое. Получим:

с² = 3

b² = 1

a² = 6

Откуда:

с = √3,  b = 1,  a = √6.

V = Sabc · BB₁ = 1/2 · ab · c = 1/2 · √6 · 1 · √3 = 3√2/2