1. цилиндрическая вентиляционная труба с диаметром 30 см имеет длину 15 м. сколько жести нужно для е. изготовления, если на заклепки уходит 5% материала? 3. полуцилиндрический свод магазинного склада имеет 35 м в длину и 16 м в диаметре.сколько жести нужно для покрытия этого склада снаружи? 4. сколько квадратных сантиметров пергаментной бумаги потребуется, чтобы сделать кондитерский мешок, у которого диаметр одного конца 0, 5 см, другого конца – 20 см, а образующая – 30 см? 5. на стол кондитер высыпал муку в форме конуса, радиус основания конуса 8 см, высота 6 см. найти образующую конуса l . 6. осевым сечением коробки конфет «рафаэлло» является равнобедренный треугольник, площадь которого 24 см^2. найти объем коробки. 7. оболочка, в которую можно упаковывать продукты в виде шара, радиус которого 12 см, пересечена плоскостью на расстоянии 5 см от центра. найти площадь сечения. 8. требуется слепить в один шар два шара из теста с диаметром 5 см и 7 см. найти диаметр нового шара.

S цилиндра без крышки= πR² + 2πRh

S=1м²

3,14*0,25² + 2 *3,14*0,25*h=1

0,19625 + 1,57*h=1

1,57h=1 - 0,19625

1,57h=0,80375

h=0,80375:1,57

h=0,51(м)

В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.

Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание  перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x - 1            y               z - (-1)

  1 - 1         2 – 0           0 - (-1)

  0 - 1         0 – 1          -2 - (-1) = 0

 x - 1        y       z + 1 |       x - 1        y

 0             2          1    |         0           2

-1           -1          -1    |        -1          -1     =  

= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =

= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).

((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

{3x + y – 2z – 5 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).

-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).

Подставим их в уравнение плоскости.

3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,

3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,

(14/3)x = 28/3,

x = 28/14 = 2,

y = (1/3)*2 – (11/3) =  -9/3 = -3,

z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.

Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.

Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.

М(2; -3; -1).

1. пусть меньший угол х, тогда второй 4х, третий 5х, сумма всех углов равна 180°, отсюда уравнение

х+4х+5х=180;

10х=180; х=18, значит. меньший угол равен 180°, тогда второй угол 4*18°=72° и третий 45*18°=90°

ответ 18°; 72°; 90°

2. сумма всех углов 180°, если один 54°, то на долю двух оставшихся приходится 180°-54°=126°;

1) пусть меньший угол х, тогда х+х+18=126; 2х=126-18; х=108°/2=54° - меньший угол. тогда больший 54°+18°=72°

2)х+8х=126; х=126/9=14; 14° - меньший угол,  тогда больший 8*14°=112°

3)2х+7х=126; х=126/9=14, тогда меньший угол 2*14°=28°, а больший 14°*7=

98°

4) х+0.5х=126;  х=126°/1.5=84°- больший угол , тогда меньший 0.5*84=42°