Через точку, удаленную от плоскости на расстояние 4см, проведены к этой плоскости две наклонные по 5см каждая. угол между проекциями этих наклонных равен 90°. найдите расстояние между основаниями наклонных. объясните с решением

Пусть А - данная точка,

АВ = АС = 5 см - наклонные к плоскости α,

АО = 4 см - перпендикуляр к плоскости α (а, значит, расстояние от точки А до плоскости).

Тогда ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.

Проекции равных наклонных, проведенных из одной точки, равны.

ОВ = ОС.

ΔАОВ: ∠АОВ = 90°, по теореме Пифагора:

            ОВ = √(АВ² - АО²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см

ОВ = ОС = 3 см.

ΔОВС: ∠ВОС = 90°,

            ВС = ОВ√2 = 3√2 см как гипотенуза равнобедренного треугольника.

Рисунок самостоятельно начертишь.
1) Рассм треуг АВД, в нем уг В =90*, уг Д=30*, след уг А=60* ( по теореме о сумме углов в треугольнике)
2) В трап АВСД уг Д=60* ( по условию ВД - биссектриса)
3) трап АВСД - р/б так как в ней углы при основании АД равны по 60*
4) Уг СВД=уг ВДА=30* (как накрестлеж при BC||АД и сек ВД), след треуг ВСД - р/б (по признаку) с осн ВД.
5) из 3,4 следует, что АВ=ВС=СД
6) Р(АВСД)= 3*АВ+АД=60 (см)
7) Рассм треуг АВД ( уг В=90* по усл, уг Д=30* по усл). АД=2*АВ (по свойству катета, леж против угла в 30*)
8) на основании пп 6,7) получаем:
3*АВ + 2*АВ = 60 ;  
5*АВ=60 ;  
АВ=12 (см)

а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:  

<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.

Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.  

Sinα = a/а√3 = √3/3.

ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).

г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть

Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).