Мо — высота правильного тетраэдра мавс, точка к делит ребро ас в отношении ак : кс = 1: 3. найдите угол между прямой мо и плоскостью мвк.

Примем длину ребра 4.
Тогда АК = 1.
Найдём длину отрезка ВК по теореме косинусов:
ВК = √(1²+4²-2*1*4*cos60°) = √(1+16-2*1*4*0.5) = √13.
Проведём высоту основания ВТ.
Она равна 4*cos30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Для получения линейного угла между прямой МО и плоскостью МВК проведём секущую плоскость через МО перпендикулярно ВК.
В основании получим прямую, пересекающую ВК в точке Е.
Треугольник КВТ подобен треугольнику ОЕВ по прямому и общему углу КВТ.
Синус угла КВТ (назовём его β) равен:
sin β = KT/BK = 1/(√13).
Отрезок ОВ = (2/3)*(2√3) = 4√3/3.
ОЕ = ОВ*sin β = (4√3/3))*(1/(√13)) = 4√3/(3√13) ≈ 0,640513.
Высота Н правильного тетраэдра равна а*√(2/3), где а - ребро.
Н = 4*√(2/3) = 4√2/√3.
Искомый угол МЕО равен:
<MEO = arc tg(MO/OE) = arc tg(4√2/√3)/(4√3/(3√13)) = arc tg√13 =
= arc tg 3.605551 = 1,300247 радиан = 74,49864°.

пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы  

{ad-bc=2*7  

{ad+bc=2*15  

или  

{ad-bc=2*15  

{ad+bc=2*7  

подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.

В прямоугольном параллелограмме квадрат ее диагонали равен сумме квадратов длин ее сторон.

А1С2 = АА12 + АД2 + СД2.

АА12 = А1С2 – АД2+ СД2 = 676 – 64 – 36 = 576.

АА1 = 24 см.

ответ: Боковое ребро равно 24 см.

второй

ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед

1) основание ABCD:

в треугольнике АВС

L B = 90 град.

AB = 6 см

BC = 8 см =>

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 =>

AC = 10 см - диагональ основания

2) В треугольнике ACC1:

L ACC1 = 90 град.

AC = 10 см

AC1 = 26 см =>

CC1 = AC1^2 - AC^2 =

= 26^2 - 10^2 =

= (26+10)(26-10) =

= 36*16 = 6^2 * 4^2 =

= (6*4)^2 = 24^2 =>

CC1 = 24 см - высота параллелепипеда