Боковые ребра пирамиды равны между собой. может ли основание пирамиды быть: 1) ромбом; 2) прямоугольником; 3) правильным шестиугольником?

1)нет

2)да

3)да

Ладно, это одна из "любимых" тем - тетраэдр, вписанный в куб. я напишу решение, но вам придется разбираться и оформлять самостоятельно. а)       фигура acb1b - правильная треугольная пирамида. в основании её равносторонний треугольник acb1: ac = ab1 = cb1 (диагонали граней куба), и боковые ребра равны между собой ba = bc = bb1; (это просто стороны куба). это означает, что точка b проектируется на плоскость acb1 в центр треугольника acb1 - точку o. (ну, у равностороннего треугольника все центры , можете выбирать, какой именно центр, но по логике это центр описанной окружности). то есть, bo перпендикулярно плоскости acb1.         фигура acb1d1 - тоже правильная треугольная пирамида, причем у неё равны между собой все ребра (все ребра этой пирамиды - диагонали граней куба). поэтому d1o перпендикулярно плоскости acb1; (аналогично предыдущему абзацу).       поскольку через точку o можно провести только один перпендикуляр к плоскости acb1, точки b, o, d1 лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости acb1, что и требовалось доказать. б) легко видеть, что прямая c1d перпендикулярна плоскости a1d1c (в этой плоскости еще и точка b лежит), потому что c1d перпендикулярна d1c и a1d1 (a1d1 перпендикулярная грани cc1d1d). точно также прямая a1d перпендикулярная плоскости ad1c1 (тоже, кстати, проходящей через точку b). поэтому (внимание! это - решение! ) угол между плоскостями равен углу между прямыми  a1d и c1d. поскольку треугольник a1dc1 - равносторонний, искомый угол равен 60°

Вравнобедренном треугольнике две равные стороны называются боковыми, а третья -  основанием треугольника. точка пересечения равных сторон — вершина равнобедренного треугольника. угол между одинаковыми сторонами считается углом при вершине, а два других — углами при основании треугольника. являются доказанными такие свойства равнобедренного треугольника: - равенство углов при основании,  - совпадение проведенных из вершины биссектрисы, медианы и высоты с осью симметрии треугольника,  - равенство между собой двух других биссектрис (медиан, высот), - пересечение биссектрис (медиан, высот), проведенных из углов при основании, в точке, лежащей на оси симметрии. наличие одного из этих признаков является доказательством того, что треугольник равнобедренный.