Вправильном тетраэдре, площадь поверхности которого равна 18 см2, отметили середины всех его рёбер и построили октаэдр с вершинами в этих серединах. найдите площадь поверхности построенного октаэдра.

ответ на картинке.ответ на картинке.ответ на картинке.

Пусть первый катет-х, второй-у, c-гипотенуза

по т. пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

с²=у²+х²

система

х-у=14

26²=у²+х²

из первого уравнения выразим х

х=14+у

подставим во второе

26²=у²+(14+у)²

676=у²+14²+2*14*у+у²

676=2у²+196+28у

676-2у²-196-28у=0

480-2у²-28у=0 (делим все на (-2))

у²+14у-240=0- это приведенное уравнение

по т.виета

y₁+y₂=-14

y₁*y₂=-240

y₁=-24 (не подходит, <0)

y₂=10 cm

подставим то, что у нас получилось в подстановку

х=14+10

х=24 cm

площадь (произведение катетов деленное на 2)

S=xy/2

S=24*10/2

S=120 cm²

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, т.е. а = R.

Т.к. проведя все радиусы в шестиугольнике, вписанном в окружность, мы разобьем его на 6 равносторонних треугольников (см. рис.), а площадь получившегося треугольника можно найти по формуле

1/2 · R · R · sin60° = 1/2 · R² · √3/2 = R²√3/4

(полный круг составляет 360°, тогда угол при вершине равностороннего треугольника будет равен 60°, а sin60° = √3/2), то площадь шестиугольника будет равна:

6 · R²√3/4 = 3R²√3/2 = 3 · 2²√3/2 = 6√3 (см²)

ответ: 6√3 см².