Треугольники abc и abd равнобедренные, причем ac=bc=15 ab=18 adb=90. найдите косинус угла между плоскостями abc и abd, если cd=6

ответ:    7/8

Объяснение:

Пусть Н - середина АВ.

СН - медиана равнобедренного треугольника АВС, значит СН - высота, СН⊥АВ.

DH - медиана равнобедренного треугольника ABD, значит DH - высота.

DH⊥AB.

Следовательно, ∠CHD - линейный угол двугранного угла между плоскостями, искомый.

ΔСНВ:  ∠СНВ = 90°, НВ = АВ/2 = 9; по теореме Пифагора

            СН = √(СВ² - НВ²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12

DH - медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, значит равна половине гипотенузы:

DH = AB/2 = 9

Из ΔCHD по теореме косинусов:

CD² = CH² + DH² - 2 · CH · DH · cos∠CHD

36 = 144 + 81 - 2 · 12 · 9 · cos∠CHD

216 · cos∠CHD = 189

cos∠CHD = 189 / 216 = 7/8

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

ВЕ = DF (Е ⊂ ВС, F ⊂ AD).

Доказать :

Четырёхугольник AECF - параллелограмм.

Доказательство :В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны между собой (свойство параллелограмма).

Отсюда следует, что ∠В = ∠D, АВ = CD.

Рассмотрим ΔАВЕ и ΔCDF.

ВЕ = DF (по условию)

∠В = ∠D, АВ = CD (по выше сказанному) ⇒ ΔАВЕ = ΔCDF по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует и равенство сторон АЕ и CF.

AD = BC (по свойству параллелограмма), но в своё очередь AD = BE + EC ; BC = DF + AF. Учитывая равенство из условия получаем, что ЕС = AF.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм (свойство параллелограмма).

АЕ = CF ;  ЕС = AF (по выше сказанному) ⇒ четырёхугольник AECF - параллелограмм.

ответ :

Что требовалось доказать.

Нарисуй ромб и проведи в нем диагонали. они разобьют ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. рассмотрим один из них. пусть меньший угол в треугольнике равен х, тогда второй угол будет х+40*. так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то получим в ромбе углв равные: 2х, 2(х+40), 2х, 2(х+40). по теореме о сумме углов четырехугольника составим уравнение:
2х+2х+2(х+40)+2(х+40)=360
2х+2х+2х+80+2х+80=360
8х+160=360
8х=200
х=25*
значит, меньший угол ромба будет 2*25=50 градусов
найдем второй угол:
2(25+40)=130* больший угол ромба.
ответ: углы ромба- два угла по 50*, два угла по 130*