Данный отрезок имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 30 градусов, а с другой 45 градусо.длина этого отрезка равна а.найти расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Пусть данный отрезок АВ, плоскости α и β, А∈α,  В∈β .

Проведем ВС ⊥ α и АМ ⊥ β. Так как плоскости α и β взаимно перпендикулярны, то С и М лягут на линию их пересечения. 

АС - проекция АВ на α, 

АМ - проекция АВ на  β.

      Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. 

ВС  ⊥ плоскости α, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.С, ⇒ АС ⊥ ВС.

В ∆ АВС  угол С=90°, тогда ВС=АВ•sin30°=a/2.

АМ⊥плоскости β, ⇒ перпендикулярна любой прямой, проходящей через М. 

 В ∆ АМВ угол АВМ=45°,  след.  ВМ=АВ•cos45°=(a√2)/2

Из прямоугольного ∆ АМС ( угол М=90°)  по т.Пифагора 

МС=√(МВ²-АС²)=√[(a√2)/2)² -(a/2)²]  ⇒ 

MC=√(a²/4)=a/2

P = 2x + y  (x - боковые стороны, y - основание) 
y = 96, P = 196 - дано в условии, найдем x
2X=P-y
x= (P-y)/2
x=50

итого: x = 50, y = 96 
нам не хватает высоты, для нахождения площади. 
Проведем высоту и рассмотрим половинку этого равнобедренного треугольника, где гипотенуза - x, а прилежащий катет - y/2 (т.к высота в равнобедренном треугольника - медиана) 
по теореме Пифагора 
h = √(x^2 - (y/2)^2)
h = √(50^2 - 48^2) =  √196 = 14

Площадь треугольника: половина основания на высоту, основание - y, высота - h 
тогда: S=1/2*hy = 96*14/2 = 672.
ответ: 672 

1. AN = AB^2/AM = 3; MN = 2; => OB = 1;

=> угол BAO = 30 градусов; BH = AB*sin(30) = корень(3)/2;

2. О - центр правильного шестиугольника.

ОС = ОD = CD = OA; => OK = KD; => AK/KD = 3;

3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK; 

Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.

Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4); 

(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)

Итак, получилось (AD/2 + 3*BC/2)/(AD - BC) = 3/2; обозначим AD/BC = x;

(x/2 + 3/2)/(x - 1) = 3/2; x = 3;

Условие MN = 10 позволяет найти основания, равные 5 и 15.