Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 2 корень из 13, а длина стороны основания равна 2. найдите высоту пирамиды.

Один из вариантов:
1. Для нахождения высоты пирамиды АВСД необходимо знать длину бокового ребра АД и радиус описанной окружности основания АВС.
2. Радиус описанной окружности считается по формуле: R=АВ/√3=2/√3
3. Боковое ребро АД находится изформулы площади одного такого тр-ка и его основания. Площадь тр-ка АСД равна 2/3*√13, тогда его высота будет находиться из соотношения 2/3*√13=1/2*AB*h=1/2*2*h ⇒ h=2/3*√13 ⇒ по т. Пифагора АД=√(h²+(АВ/2)²)=√(14/3).
4. Искомая высота также ищется по т. Пифагора: H²=АД²-R², ⇒ H=√(14/3 - 4/3)=√10/3 (корень из десяти третьих).

Рассмотрим левый треугольник на рис. он прямоугольный, в нем один угол прямой, а острый угол, который составляет сторона длиной 4 с катетом большого треугольника равен 90°-α, значит, острый угол этого маленького треугольника, который составляет высота h c меньшим катетом большого треугольника равен α, отношение 4/h=tgα⇒h=4/tgα=4*3/2=6;  чтобы найти гипотенузу с, надо воспользоваться свойствами пропорциональных отрезков  в большом прямоугольном треугольнике, а именно h²=4*х, где 4 и х - проекции катетов на гипотенузу, тогда 36=4*х, откуда х=9, а гипотенуза тогда 4+9=13

Вариант решения.

ответ: 2048 см³

Объяснение: Объем оставшейся части шара равен разности между объемом шарового слоя и объемом цилиндра, который вырезали из шара.

  Радиусы шара и цилиндра даны в условии, а высоту цилиндра (шарового слоя) следует найти.

  Формула объема шарового слоя V=0,5•π•h•(R²+r²+h²/3), (1),  где R и r- радиусы верхнего и нижнего основания слоя, h- его высота. Здесь R=r - радиусы равных оснований цилиндра, h - высота шарового слоя, она же - высота цилиндра.

Преобразуем V1 согласно условию и вычтем из него V2=πr²•h=2πr²•h/2 (объем цилиндра )

V1=0,5•π•h•(6r²+h²)/3

V1-V2=0,5•π•h•(6r²+h²)/3 -πr²•h

После несложных действий получим V1-V2=h³/2

Сделаем схематический рисунок к задаче.  

Обозначим цилиндр АВСD,

АС=41,6 - диаметр шара, АВ=38,4 см - диаметр цилиндра.

По т.Пифагора h=ВС=√(AC²-AB²)=√(41,6²-38,4²) =16 см

Искомый объем равен 16³:2=2048 см³