Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. найдите сторону правильного четырехугольника, вписанного в ту же окружност

1. Правильный Δ - треугольник у которого все стороны равны.
P - сумма длин всех сторон , отсюда сторона треугольника равна P/3.
R=(a√3)/3 - формула определения радиуса описанной окружности для правильного треугольника.

R=(15√3)/3 ,R=5√3
2. Вписали правильный четырехугольник - то есть квадрат.
R=√2/2a ,где a - сторона квадрата ,так как квадрат вписали в ту же окружность радиус не изменяется ,то есть R=5√3.
a=5√3 * 2/√2 = 10√3/√2 ,
a=√100*3/√2 = √300/√2 = √(300/2) = √150 =5√6

Здесь нужно применить формулу нахождения площади через диагонали.
S=1/2 D1*D2* sinα, где D 1 и 2 - диагонали, альфа - угол между ними.
Теория:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Дано: АВСД - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей АС и ВД.
∠ВАС=5*∠CАД
Найти: S-?
Решение: ∠ВАС+∠САД=90°   5*∠САД+∠САД=90   6*∠САД=90   ∠САД=15°    ∠ВАС=75°
АВО - равнобедренный треугольник ∠А=∠В=75°. ∠С=180-(75+75)=30°.
Это и есть угол между диагоналями. Синус 30 град. = 1/2.
Теперь,   S=1/2 *6*6* 1/2=⇒  S=9

Согласно обратной теореме Фалеса, прямая ED параллельна прямой BC.
Пусть F - точка пересечения прямых ED и AM. Треугольник AED - равнобедренный (AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.). Рассмотрим треугольники AEF и AFD:
AE=AD, т.к. ЕС и ВD - медианы треугольника ВАС.
AF - общая сторона
углы AED и ADE равны как углы равнобедренного треугольника AED.
Следовательно треугольники EFA и AFD равны по первому признаку.
Значит AF является для этого треугольника биссектриссой, медианой и высотой. Отсюда следует, что AF⊥ED. Т.к. точка Fявляется точкой пересечения прямых ED и AM( F∈AM), то прямая AM⊥ED и т.к. ED║BC, то AM⊥BC.