Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Если стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=18, то AO=BO=CO=DO=EO=FO=18. И тогда в прямоугольном треугольнике, например ΔSOD, образованном высотой SO, боковым ребром SD=15 и проекцией бокового ребра на основание DO, катет DO=18 будет больше гипотенузы SD=15. То есть, боковые ребра у пирамиды с такими размерами не сойдутся сверху в вершину S.

В условии задачи ОШИБКА! Такая пирамида не существует.

Тогда рассмотрим решение этой задачи в общем случае. Пусть боковые ребра SA=SB=SC=SD=SE=SF=b, стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=AF=a.

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников.

ΔESD - равнобедренный, SE=SD=b, ED=a. Высота равнобедренного треугольника SK также является медианой ⇒ EK=KD=a/2

ΔSKD - прямоугольный, ∠SKD=90°. По теореме Пифагора

SD² = SK² + KD² ⇒ SK² = SD² - KD² = b² - (a/2)²

Площадь боковой поверхности пирамиды

===========================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=13, сторона основания a=10

==============================================

Допустим, боковое ребро пирамиды b=41, сторона основания a=18

Окружность, уравнение которой x^2+y^2 = 4 - это окружность с центром в начале координат радиусом 2., поскольку уравнение окружности таково: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 с центром в точке O(a;b) Радиуса R. Из условия имеем: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2. Далее, Из условия AB = BM. Рассмотрим это со следующего ракурса: AB = BM - радиусы некоторой окружности. На рисунке как бы мы не проводили хорду АВ, АВ будет равна ВМ и точка М будет лежать на той самой окружности. И хорда АМ большой окружности будет делится надвое радиусом в точке меньшей окружности (B, B1, B2 ... Bn). Получается, множество точек М - это некая окружность с центром B(2;0) радиусом 4. И уравнение такой окружности будет иметь вид: (x-2)^2 + y^2 = 16.

Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD.
Докажем второй пункт.  Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.