Стереометрия 10-11 класс. в правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 8 см, а боковое ребро 3 корня из 2-х см. через диагональ основания под углом 45 градусов к его плоскости проведено сечение. найдите его площадь.

ABCD- квадрат. BD⊥AC, BD пересекает AC  в точке O, АО=СО, BO=DO.

Угол 45° между плоскостью основания и плоскостью сечения - угол между отрезками, проведенными  в плоскости основания и сечения перпендикулярно к диагонали  BD в точке О. . 

Проведем  из О перпендикулярно ВD луч до пересечения в точке К с продолжением СС1. 

В прямоугольном треугольнике∠КОС=45°, ⇒ угол ОКС =45° и ∆ КСО -  равнобедренный .

ОС=DС•sin45°=8•√2/2=4√2

СK=ОC=4√2. 

ОК=ОС:sin45°=4√2:2=8 см

Прямоугольные ∆KHC1~∆KOC по общему углу при К. 

КС1=KC-CC1=4√2-3√2=√2  

k=KC1/KC=√2:4√2=1/4      Тогда КН=КO•1/4,

 HO=KO•3/4=8•3/4=6 см 

В сечении MT||BD. Четырехугольник ВМТD- трапеция. ОН - её высота. 

Диагонали квадрата - биссектрисы его углов.  ABD=DBA=45°

ВD=AB:sin45°=8:√2/2=8√2

∆КМТ~∆KBD, 

MT=8√2:4=2√2  см

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. 

S=(MT+BD)•OH:2=((2√2+8√2)•6:2=30 см*

Хорошо, сведем задачу к нахождению диагонали трапеции т.к.  есть формула  S= d^2/2 * sinA где d- диагональ, синус угла 60 у нас есть он равен 1/2* корень из 3.
Диагонали в равнобедр. трапеции образуют собой равнобедр. треугольники AOD и BOC  рассмотри треугольник ВОС:
угол ВОС равен 180- 60= 120, тогда углы при основании равны по 30 (углы ОСВ и ОВС) 
далее возьмем прямоугольный треугольник АНС где АН- высота:
угол АСН мы нашли он равен совпадающему углу ОСВ и равен 30
тогда угол НАС равен
180-90-30=60
АН=2
найдем сторону НС:
по формуле НС = АН*tgА= 2* tg HAC= 2 * tg 60 = 2* корень из 3=
2 корня из 3
окей, далее найдем АС она же является диагональю трапеции:
АС= НС/sin НАС= 2 корня из 3/ ( 1/2* корень из 3) = 4
готово, осталось посчитать:
S = АС^2 /2 * sin 60=  8* корень из 3 /2 = 4 корня из 3 см в квадрате

Сечение конуса - ΔАВС с основанием АС=6√3 - хорда.
равнобедренный ΔАОС (О - центр основания конуса): АО=ОС=R, <AOC=120°, <OAC=<OCA=30°, OM_|_AC, ОМ - высота, медиана ΔАОС, ⇒АМ=3√3. 
tg30°=OM:AM. 





по условию, секущая плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°, ⇒ линейный угол ВАСМ - угол ВМО=45°. высота конуса Н=ОМ=3


ответ: Vк=20,25π

2. MABCD - правильная пирамида с диагональю основания АС=d, угол между боковым ребром МА и плоскостью основания <MAC= α 
MO_|_(MABCD), МО - высота пирамиды.
прямоугольный ΔМОА: ОА=d/2, <A=α. tgα=MO:OA, MO=tgα*OA
MO=d*tgα/2

Vпир=(1/3)*Sосн*H
Sосн=a², a- сторона основания пирамиды
диагональ пирамиды найдена по теореме Пифагора из ΔАВС: АС²=АВ²+АС²
АВ=АС=а
d²=a²+a², d²=2a². d=a√2, ⇒a=d/√2
S=(d/√2)²=d²/2
Vпир=(1/3)*(d²/2)*(d*tgα/2)
Vпир=(d³ *tgα)/12