Найдите большее основание прямоугольной трапеции, площадь которой равна 48, высота равна 6 и большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 градусов.

В трапеции АВСД АВ=6, S=48, ∠Д=45°.
АД=?

В прямоугольном треугольнике СДК острый угол равен 45°, значит он равнобедренный. КД=СК=6.
Пусть ВС=х, тогда АД=АК+КД=ВС+КД=х+6.
S=АВ·(АД+ВС)/2,
48=6(х+6+х)/2,
2х+6=16,
х=5,
АД=х+6=11 - это ответ.

Треугольник  DAB  - прямоугольный. Угол DBA = 30 градусов, так как угол В 60 градусов по условию и угол DBC=30 градусов.
DB= 8 . В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит гипотенуза в два раза больше катета.
Обозначим основание перпендикуляра из точки D к стороне СВ буквой К
В треугольнике DKB  угол DKB= 90 градусов, угол KBD = 30 градусов, Гипотенуза DB=8, значит DK = 4
В треугольнике CDK  угол DCK=30  градусов, катет DK=4, значит гипотенуза DC=8
И потому АС = CD +DA=8+4=12

Источник: предыдущее решение этой задачи.

Доказательство Пусть дан треугольник ABC . Проведем через
вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на полученной
прямой точку D так, чтобы она лежала в другой полуплоскости относительно
прямой BC.
∠ CAB и ∠ ABD – внутренние односторонние углы для параллельных
прямых AC и BD с секущей AB, тогда:
∠ CAB + ∠ ABD = 180º ⇒ ∠ ABD = 180º - ∠ CAB
∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD.
Так как ∠ CBD = ∠ ACB как внутренние накрест лежащие, образованные
пересечением параллельных прямых BD и AC c секущей BC, то
∠ ABD = ∠ ABC + ∠ ACB
Приравниваем ∠ ABD:
∠ ABC + ∠ ACB = 180º - ∠ CAB
и ∠ ABC + ∠ ACB + ∠ CAB = 180º .
Теорема доказана. ♦