Вравнобедренном треугольнике радиусы описанного и вписанного кругов, соответственно равняются 50 и 24 см. обчислить периметр треугольника

Обозначим центр описанной окружности точкой O₁, вписанной O₂,а высоту, проведённую к основанию, точкой H.
Точки H,  O₂, O₁ и B будут лежать на одной прямой, т.к. BH является и медианой, и высотой (значит, серединным перпендикуляром), и биссектрисой.
Найдём длину отрезка O₁O₂.
Длина этого отрезка равна расстоянию между центрами окружностей, которое находится по формуле Эйлера:

AO₁ = R = 50.
O₂H = r = 24.
O₁H = O₂H + O₁O₂ = 1- + 24 = 34.
По теореме Пифагора в ΔAO₁H:

Т.к. BH - медиана, то 
По теореме Пифагора в ΔHBC:

Т.к. боковые стороны равны, то 

ответ: 

Оказалось непросто, даже почти забанили за самоуверенность. Но решение простое. Итак: Треугольник ABC. Высота BD. Обозначим длину искомого отрезка - х (EF). BD=4, AD=1, DC=8, Задача сводится к тому, чтобы прировнять площади двух получившихся фигур, S1 (маленький треугольник CEF) и S2 (сложная фигура, состоящая из треугольника ABD и прямоугольной трапеции BEFD. Отношение сторон треугольника ECF равно отношению в BCD. Следовательно если EF=x, то CF=2x. Находим площадь S1=(x*2x)/2=x²; То есть S2=S1, но вместе с тем S2+S1=Sобщ. Sобщ=(4*8)/2+(4*1)/2=18; Sобщ=2S1=2x²=18; x²=9; x=3. ответ: длина отрезка = 3.

 Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.

 Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный

1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).

2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно.
 Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин.
 В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии):
 BO=CO
OM=OH

Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты:
BM = CH, чтд.

Всё!