Какие из следующих утверждений неверны 1)медиана треугольника пересекаются в одной точке вне треуольника.2)высота проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним пропорциональным между катетами прямоугольного треугольника .3)площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Первое утверждение неверно и второе. 

Изобразите на рис. прям. треуг. O1AD с вертикальным катетом O1D, горизонтальным AD. Катет проходит по точкам D, B, D2, A.
r1= O1D=O1K=24. Гипотенуза проходит по точкам O1, K, O2, A. r2=O2D2=O2K=6. Радиус описанной окружности R будем искать на основе теоремы синуса: R=2BK/2sin2α, α угол O1AD.  Тот же угол образуется между O1O2 и прямой, параллельной AD проведенной через О2. Значит
r1=r2+(r1+r2)sinα, sinα=(r1- r2)/(r1+r2)=18/30=0,6. Отрезок ВК, перпендикулярный О1А найдем из ΔAKB: KB=KAtgα.
 R=2KAsinα/2cosαsin2α=KA/2(cosα)^2. KA=r2+r2/sinα.
R=r2(1+1/sinα0/2(cosα)^2=r2(sinα+1)/2sinα(1 - (sinα)^2)
R=6*2,6/1,2*(1 - 0,36)=20,31.

Если работать в плоскости, то по аксиоме: "Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной". Это значит, что прямая b, которая будет проведена через данную точку М параллельно прямой а будет единственной прямой на плоскости, не пересекающей прямую а. Совпадающие прямые считаются одной и той же прямой, следовательно, нам нужно провести через точку М прямую, параллельную прямой а и отличную от прямой b, параллельной прямой а, что невозможно по приведенной в начале ответа аксиоме.