Впрямоугольном треугольнике abc ∟с= 90°, ∟.a = 30°, ас = 10 см, cd ┴.ав, de ┴ас. найдите ае. а) 8 см; б) 6 см; в) 5 см; г) 7, 5 см.

г) 7,5 см.

Объяснение:

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть АВ = 2*ВС. Тогда по Пифагору:

4*ВС² - ВС² = АС²  => 3*ВС² = 100. ВС = 10√3/3 см.

AB = 2*10√3/3 = 20√3/3 см.

В прямоугольном треугольнике CDB:

DB = BC/2 = 5√3/3 см. (катет против угла 30°).

AD = AB - DB = 20√3/3 -  5√3/3 = 15√3/3 = 5√3 см.

В прямоугольном треугольнике AED:

ED =  AD/2 = 5√3/2 см (катет против угла 30°). Тогда по Пифагору:

AE = √(AD² - ED²) = √(75 - 75/4) = √(225/4)  = 7,5 см.

Обозначим через ВК высоту, опущенную на сторону АС.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.

Пусть в параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусам, а высота BH делит сторону AD пополам (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём острый угол HAB равен 60 градусам, тогда другой острый угол - ABH - равен 90-60=30 градусам. Известно, что в прямогольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, AB=2AH. Кроме того, AD=2AH, значит, AB=AD. По свойству параллелограмма, AB=CD; AD=BC, это значит, что все стороны нашего параллелограмма равны между собой, тогда каждая из них равна 1/4 периметра. В частности, AB=AD=24/4=6. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В него входит меньшая диагональ параллелограмма - BD. Нам известно, что этот треугольник равнобедренный, так как AB=AD. Так как угол при вершине равен 60 градусам, 2 других угла треугольника также равны 60 градусам. Значит, треугольник равносторонний и AB=AD=BD. Отсюда BD=6.