Знайти відрізки на які ділить середню лінію діагональ трапеції основи якої дорівнюють 4 см і 10

Диагональ трапеции разбивает трапецию на 2 треугольника, у которых части средней линии трапеции являются средними линиями данных треугольников, которые параллельны основаниям трапеции, поэтому средние линии получившихся треугольников равны 2 см и 5 см (половине стороны, которой она параллельна), а, значит, средняя линия трапеции диагональю делится на части 2 см и 5 см.

Все очень просто:

Дали нам высоту проведенную на гипотенузу, а значит вершина угла из которого вышла высота : угол BCA ( ты написал все без чертежа, я сделал свой чертеж по твоему условию) 
А угол BCA= 90 градусов 
Так же знаем угол ACK =34 градуса,

Так же по свойству высоты мы знаем что CK перпендикулярен AB , а значит СKB = 90 градусов.

Что бы найти угол В, мы должны знать все углы треугольника BCK 

Находим угол BCK = 90-34= 56

Теперь делаем уравнение:
56+90+угол В= 180 градусов 

И получаем что угол В = 34 градуса

Т.к. боковые ребра пирамиды равны, то и их проекции на основание тоже равны, следовательно, основание высоты пирамиды будет центр описанной около прямоугольного треугольника окружности))
известно: вписанный прямой угол опирается на диаметр, т.е. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности --это середина гипотенузы.
в основании египетский треугольник, т.е. гипотенуза =10
высота пирамиды --это высота боковой грани (треугольника со сторонами 13, 13, 10)
h² = 13² - 5² = (13-5)(13+5) = 8*18
h = 4*3 = 12