Площина, яка знаходиться на відстані 9 см від центра кулі, перетинає її поверхню по лінії, довжина якої дорівнює 80  см. Знайти об’єм кулі та площу поверхні кулі.

Смотри рисунок к задаче в прикрепленном файле.

Вершины четырехугольника делят окружность на дуги. Обозначим одну часть через х°.

Тогда градусная мера дуги АВ=х, дуги ВС=2х, дуги CD=5х, дуги DA=4х.

В сумме все эти дуги дают 360°

х+2х+5х+4х=360

12х=360

х=30.

Значит дуга АВ 30°, дуга ВС 2*30°=60°, дуга CD=5*30°=150°, дуга DA 4*30°=120°.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол А опирается на дугу ВD. ВD=ВС+CD=60°+150°=210°.

∠А=210°:2=105°

Угол В опирается на дугу АС. АС=СD+DA=150°+120°=270°

∠В=270°:2=135°.

Угол С опирается на дугу DB. DB=DA+AB=120°+30°=150°

∠С=150°:2=75°.

∠D=360°-(105°+135°+75°)=45°.

ответ: ∠А=105°, ∠В=135°, ∠С=75°, ∠D=45°.

Так-с, у нас есть равнобедренный треугольник ABC. Достраиваем в нем медианы: BQ к AC и AE к BC. Этого хватит. Рассмотрим треугольник ABQ: BQ будет перпендикуляром, так как в равнобедренных треугольниках( в данном случае ABC) медиана, проведенная к основанию является так же и высотой. Следовательно, угол AQB=90 градусов. AB=10см, AQ=1/2*AC=8см, так как BQ - медиана. Теперь из прямоугольного треугольника ABQ найдем катет BQ по теореме Пифагора: BQ=корень из (AB^2-AQ^2)=корень из (10*10-8*8)=корень из (100-64)=корень из 36=6см. В равнобедренном треугольниках пересекаются в одной точке и делят друг друга на отрезки в отношении 2/1 считая от вершины. Следовательно, BO/OQ=2/1. BO=4см, OQ=2см. И теперь осталось найти AO из треугольника AOQ, где угол AQB равен 90 градусов, по теореме Пифагора: AO=корень из (OQ^2+AQ^2)= корень из (4+64)=корень из 68=4*корень из 17