Ромб с диагоналями 12 см и 16 см служит основанием пирамиды. высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6, 4 см. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Во-первых, сторона ромба - это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - половины диагоналей 
a^2 = (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 
a = 10 
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 
S(осн) = d1*d2/2 = 12*16/2 = 96 
Боковое ребро пирамиды - это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - половина диагонали и высота. 
L1^2 = (d1/2)^2 + h^2 = 6^2 + 6,4^2 = 36 + 40,96 = 76,96 
L1 ~ 8,773 
L2^2 = (d2/2)^2 + h^2 = 8^2 + 6,4^2 = 64 + 40,96 = 104,96 
L2 ~ 10,245 
Площадь треугольника со сторонами (10; 8,773; 10,245) можно найти по формуле Герона. 
p = 14,509; p-a = 4,509; p-b = 4,264; p-c = 5,736 
S(тр) = корень (p(p-a)(p-b)(p-c)) = корень (14,509*4,509*4,264*5,736) = корень (1600) = 40 
Площадь полной поверхности 
S = S(осн) + 4S(тр) = 96 + 4*40 = 256

* * * пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике * *
h² =a₁*b₁,где a₁ и b₁ проекции катетов a и b на гипотенузе(отрезки разд.  высотой)  || Пусть a₁ =9 см ; b₁= (h+4) см || .
h² =9(h+4) ;
h² -9h  -36 =0 ;
[h= -3 ( не решения ) ; h =12 (см) .
b₁ =h+4 = 12+4 =16 (см).
Гипотенуза c = a₁+b₁ = 9 см+ 16 см  =25 см .

a =√(a₁²+ h²) =  √(9²+ 12²)  =15 (см) .  || 3*3; 3*4 ; 3*5 || 
или из a² =c*a₁=25*9⇒ a=5*3 =15  (см) .
b = (b₁²+ h²) = √(16²+ 12²) = 20 (см) .  || 4*3; 4*4 ; 4*5 ||
или из b² =c*b₁=25*16 ⇒ b=5*4 =20 (см) .

ответ: 15 см, 20  см, 25 см . || 5*3; 5*4 ; 5*5 |

Решаешь так: проведи диагональ в основании диагональ в парал-ппд, у тебя будет прямоугольный треугольник. диагональ в основании будет гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4, она будет равна 5 (корень из (3^2 + 4^2) ), пифагор, а вот у тебя ещё дан угол между диагоналями, наплмню, что нам нужна высота, а это противолежащий катет в треугольнике, tg = h/5, противолежащий к прилежащему, где прилежащий это 5, а противолежащий - это высота, известен угол, он равен 45, тогда tg 45 = 1, sin45/cos45 = 1, h = 1 * 5, вот и ответ, 5